WEBVTT 00:00:00.510 --> 00:00:03.810 أوجد مقياس العدد المركب واحد زائد 𝑖. 00:00:04.650 --> 00:00:18.450 لنرسم المستوى المركب، حيث يحتوي محور 𝑥 على جميع الأعداد الحقيقية، ويحتوي محور 𝑦 على جميع الأعداد التخيلية، والأعداد الأخرى في المستوى أعداد مركبة وليست حقيقية أو تخيلية بالكامل. 00:00:19.310 --> 00:00:22.530 يمكننا تحديد موضع العدد الذي يهمنا، وهو واحد زائد 𝑖. 00:00:23.460 --> 00:00:29.450 مقياس هذا العدد المركب هو المسافة بينه وبين مركز إحداثيات المستوى المركب، وهو الصفر. 00:00:30.360 --> 00:00:34.300 إذن رسمت القطعة المستقيمة من صفر إلى واحد زائد 𝑖. 00:00:34.990 --> 00:00:39.450 ويمكننا رسم مثلث قائم الزاوية بضلعين طول كل منهما واحد. 00:00:40.420 --> 00:00:53.120 ومن ثم وفقًا لنظرية فيثاغورس، فإن طول القطعة المستقيمة بين صفر وواحد زائد 𝑖، وهي المسافة من صفر إلى واحد زائد 𝑖، هي الجذر التربيعي لواحد تربيع زائد واحد تربيع، أي الجذر التربيعي لاثنين. 00:00:53.850 --> 00:00:58.100 مقياس العدد المركب واحد زائد 𝑖 هو إذن الجذر التربيعي لاثنين. 00:00:58.860 --> 00:01:10.750 عادة يكون مقياس العدد المركب 𝑎 زائد 𝑏𝑖 هو الجذر التربيعي لـ 𝑎 تربيع زائد 𝑏 تربيع، ويمكننا التأكد من أن استخدام هذه الصيغة يعطينا النتيجة نفسها بالفعل، وهي الجذر التربيعي لاثنين. 00:01:11.740 --> 00:01:16.270 لم نفرغ من حل هذه المسألة بعد؛ فعلينا كذلك إيجاد سعة هذا العدد المركب. 00:01:17.210 --> 00:01:24.590 سعة العدد المركب هي قياس الزاوية بين العدد المركب ومحور الأعداد الحقيقية الموجبة. 00:01:25.340 --> 00:01:31.380 ولدينا بالفعل مثلث قائم الزاوية مرسوم وموضح عليه طول الضلع المقابل وطول الضلع المجاور، وهو «واحد» للضلعين. 00:01:32.230 --> 00:01:45.320 ومن ثم فإن القياس 𝜃 لهذه الزاوية هو الدالة العكسية للظل واحد على واحد، والذي يمكننا إيجاده بالاستعانة بالآلة الحاسبة مع ضبطها على نظام الراديان، وسنجد أنها تعطينا 𝜋 على أربعة راديان. 00:01:46.360 --> 00:01:59.850 عادة ما تكون سعة العدد المركب 𝑎 زائد 𝑏𝑖 هي الدالة العكسية للظل 𝑏 على 𝑎 إذا كان 𝑎 أكبر من الصفر، والدالة العكسية للظل 𝑏 على 𝑎 زائد 𝜋 إذا كان 𝑎 أقل من الصفر. 00:02:00.850 --> 00:02:06.950 الجزء الأخير من السؤال، إذن، هو: اكتب العدد المركب واحد زائد 𝑖 في الصورة القطبية. 00:02:07.850 --> 00:02:20.020 الصورة القطبية للعدد المركب 𝑧 هي 𝑟 في cos 𝜃 زائد 𝑖 sin 𝜃، حيث 𝑟 هو مقياس العدد المركب 𝑧 و𝜃 هي السعة. 00:02:20.020 --> 00:02:37.900 وكما أوجدنا في الجزء الأول من الحل، فإن مقياس واحد زائد 𝑖 هو الجذر التربيعي لاثنين وسعة واحد زائد 𝑖 هي 𝜋 على أربعة، فإيجاد الصورة القطبية لواحد زائد 𝑖 ما هي إلا تعويض بهذه القيم. 00:02:38.580 --> 00:02:47.900 إذن توصلنا إلى أن العدد المركب واحد زائد 𝑖 في الصورة القطبية هو جذر اثنين في cos 𝜋 على أربعة زائد 𝑖 sin 𝜋 على أربعة. 00:02:48.910 --> 00:02:54.440 ويمكننا مباشرة التأكد من أن ذلك يمثل بالفعل واحد زائد 𝑖 بفك أقواس الصورة القطبية. 00:02:55.170 --> 00:03:13.020 ربما تريد أيضًا إيجاد الدلالة الهندسية للأجزاء الحقيقية والتخيلية لهذا العدد في الصورة القطبية، أي ما هي الدلالة الهندسية لجذر اثنين في cos 𝜋 على أربعة وجذر اثنين في sin 𝜋 على أربعة في الشكل المرسوم أمامنا في المستوى المركب.