WEBVTT 00:00:01.240 --> 00:00:12.680 Neste vídeo, aprenderemos como calcular a distância perpendicular entre um ponto e uma reta ou entre duas retas paralelas no espaço usando uma fórmula. 00:00:13.320 --> 00:00:17.720 E como veremos, podemos usar a mesma fórmula em ambos os casos. 00:00:19.840 --> 00:00:26.560 À medida que começamos, vamos considerar este primeiro caso, encontrando a distância perpendicular entre um ponto e uma reta. 00:00:27.680 --> 00:00:35.960 Se este é o nosso ponto e esta é a nossa reta, então essa distância seria assim, e podemos chamá-la de 𝑑. 00:00:36.760 --> 00:00:42.080 Para resolver 𝑑, existem três informações de que precisamos. 00:00:42.760 --> 00:00:46.960 Primeiro, precisamos saber as coordenadas do nosso ponto no espaço. 00:00:47.560 --> 00:00:49.320 Vamos chamar esse ponto de 𝑃. 00:00:49.560 --> 00:00:54.880 Também precisaremos saber as coordenadas de um ponto na reta. 00:00:55.600 --> 00:01:00.120 Pode ser em qualquer lugar da reta, e chamaremos esse ponto de 𝐿. 00:01:00.880 --> 00:01:08.840 Por fim, precisaremos conhecer as componentes de um vetor paralelo à nossa reta e chamaremos esse vetor de 𝐬. 00:01:09.840 --> 00:01:18.320 Em nosso cenário, vamos deixar esse ponto ser o ponto 𝑃 e digamos que também conheçamos um ponto na reta. 00:01:19.000 --> 00:01:23.640 E como dissemos, isso pode ser em qualquer lugar da reta. 00:01:24.240 --> 00:01:32.840 E, por último, digamos que também conheçamos as componentes de um vetor, que chamamos de 𝐬, que é paralelo à nossa reta. 00:01:33.560 --> 00:01:43.240 Nossa afirmação é que, uma vez que sabemos essas coisas, podemos resolver a distância mínima, a distância perpendicular, entre nosso ponto e a reta. 00:01:44.600 --> 00:01:47.920 Veja como podemos fazer isso. 00:01:48.760 --> 00:01:53.400 Primeiro, vamos configurar um vetor que vai do ponto 𝑃 ao ponto 𝐿. 00:01:53.880 --> 00:01:56.400 Vamos chamar esse vetor de 𝐏𝐋. 00:01:57.440 --> 00:02:04.360 E observe como o vetor 𝐏𝐋 e o vetor 𝐬 formam dois lados de um paralelogramo. 00:02:05.520 --> 00:02:16.400 Se chamarmos a área desse paralelogramo 𝐴, então podemos dizer que a magnitude do vetor 𝐏𝐋 cruzado com o vetor 𝐬 é igual a essa área. 00:02:18.280 --> 00:02:22.320 Agora, em nosso esboço, aqui está algo interessante. 00:02:23.040 --> 00:02:37.040 Se pegarmos a distância perpendicular 𝑑 e a deslizarmos de modo que ela esteja agora em contato com a extremidade final do vetor 𝐬, essa distância 𝑑 multiplicada pela magnitude do vetor 𝐬 nos dará a área desse retângulo. 00:02:38.320 --> 00:02:46.760 E a área deste retângulo em laranja e o paralelogramo em rosa são idênticos. 00:02:47.680 --> 00:03:00.000 Portanto, não apenas podemos dizer que a magnitude de 𝐏𝐋 vezes 𝐬 é igual a 𝐴, mas também podemos dizer que 𝑑 vezes a magnitude do próprio 𝐬 é igual a 𝐴. 00:03:00.960 --> 00:03:05.040 Isso significa que podemos escrever essa equação aqui. 00:03:05.680 --> 00:03:16.800 E se dividirmos ambos os lados pela magnitude do vetor 𝐬, cancelando esse fator à esquerda, então obtemos essa expressão para a distância perpendicular 𝑑. 00:03:18.320 --> 00:03:30.440 E como vimos, as três coisas que precisamos para calcular 𝑑 são um ponto no espaço, um ponto em nossa reta e um vetor paralelo à reta. 00:03:32.240 --> 00:03:41.200 Sabendo disso, vamos mudar nosso cenário para que agora estejamos resolvendo a distância perpendicular entre duas retas paralelas. 00:03:42.440 --> 00:03:47.080 A coisa maravilhosa em fazer isso é como ela é semelhante ao caso anterior. 00:03:48.040 --> 00:04:05.560 Mais uma vez, para calcular 𝑑, precisamos saber três coisas: um ponto na reta um, chamaremos esse ponto de 𝐿; um ponto em algum lugar na reta dois, chamaremos esse ponto de 𝑃; e também precisamos de um vetor paralelo a ambas as retas. 00:04:06.760 --> 00:04:18.520 Sabendo de tudo isso, podemos definir novamente um vetor do ponto 𝑃 ao ponto 𝐿 e usá-lo junto com o vetor 𝐬 em nossa equação para resolver 𝑑. 00:04:19.440 --> 00:04:22.600 A melhor maneira de aprender tudo isso é através da prática. 00:04:23.120 --> 00:04:25.080 Então, vamos ver um exemplo. 00:04:26.640 --> 00:04:39.560 Encontre, com uma casa decimal, a distância perpendicular do ponto menos três, menos quatro, zero até a reta nos pontos um, três, um e quatro, três, dois. 00:04:40.960 --> 00:04:48.800 Ok, então aqui temos esses dois pontos no espaço com coordenadas um, três, um e quatro, três, dois. 00:04:49.520 --> 00:04:52.240 E nos é dito que uma reta está ao longo desses dois pontos. 00:04:53.320 --> 00:04:57.880 Junto com isso, há um terceiro ponto cujas coordenadas conhecemos. 00:04:58.360 --> 00:05:03.920 E queremos resolver a distância perpendicular entre este terceiro ponto e a reta. 00:05:04.560 --> 00:05:06.640 Vamos chamar essa distância de 𝑑. 00:05:07.880 --> 00:05:14.760 Para começar a fazer isso, podemos lembrar a equação da distância perpendicular entre uma reta e um ponto no espaço. 00:05:15.560 --> 00:05:30.080 Para realizar este cálculo, precisaremos saber as coordenadas de um ponto no espaço, nós as temos, assim como as coordenadas de um ponto em nossa reta, e na verdade temos duas delas. 00:05:30.880 --> 00:05:39.160 A última coisa que precisamos, no entanto, para usar essa equação para 𝑑 são as componentes de um vetor que é paralelo à nossa reta. 00:05:39.760 --> 00:05:42.680 Não recebemos essa informação. 00:05:44.120 --> 00:05:59.680 Mas observe que se desenharmos um vetor de um determinado ponto em nossa reta, esse vetor seria paralelo à nossa reta e poderíamos usá-lo em nossa equação para resolver 𝑑. 00:06:00.800 --> 00:06:12.440 Se chamarmos esse vetor de 𝐬, podemos ver que seus componentes são iguais às coordenadas do nosso primeiro ponto na reta - um, três, um - menos as do nosso segundo ponto. 00:06:13.560 --> 00:06:18.960 O que obtemos é um vetor com componentes menos três, zero e menos um. 00:06:20.040 --> 00:06:28.960 Agora que sabemos o vetor 𝐬 que usaremos em nossa equação para 𝑑, vamos considerar esse vetor 𝐏𝐋. 00:06:30.480 --> 00:06:39.680 Aqui, 𝑃 é um ponto no espaço tridimensional e 𝐿 é um ponto em algum lugar ao longo de nossa reta. 00:06:40.920 --> 00:06:48.600 Digamos que em nossa reta escolhemos o ponto um, três, um para ser o ponto 𝐿. 00:06:49.680 --> 00:06:52.920 Isso significa que o vetor 𝐏𝐋 ficará assim. 00:06:53.440 --> 00:07:00.640 E podemos resolver para as componentes desse vetor da mesma forma que fizemos para as de 𝐬. 00:07:02.320 --> 00:07:06.320 Subtraímos as coordenadas do ponto 𝑃 daquelas do ponto 𝐿. 00:07:07.040 --> 00:07:12.280 E descobrimos que 𝐏𝐋 tem componentes quatro, sete e um. 00:07:12.920 --> 00:07:18.400 Agora temos todas as informações necessárias para começar a calcular nossa distância perpendicular. 00:07:19.360 --> 00:07:24.320 Começaremos calculando o produto vetorial de 𝐏𝐋 e 𝐬. 00:07:25.400 --> 00:07:30.320 Isso é igual ao determinante dessa matriz três por três. 00:07:31.520 --> 00:07:37.200 Aqui, nossa primeira linha são os vetores unitários 𝐢, 𝐣 e 𝐤. 00:07:37.920 --> 00:07:44.320 E a segunda e a terceira linhas são os respectivos componentes dos vetores 𝐏𝐋 e 𝐬. 00:07:46.120 --> 00:07:56.160 Trabalhando componente por componente, obtemos 𝐢 chapéu vezes sete menos 𝐣 chapéu vezes um mais 𝐤 chapéu vezes menos 21. 00:07:57.400 --> 00:08:04.920 Também podemos escrever isso como o vetor com componentes sete, menos um, menos 21. 00:08:05.760 --> 00:08:11.400 Estes são os componentes do produto vetorial de 𝐏𝐋 e 𝐬. 00:08:12.480 --> 00:08:19.440 E agora podemos pegar a magnitude desse produto vetorial e dividi-la pela magnitude de 𝐬. 00:08:20.920 --> 00:08:30.320 A magnitude de 𝐏𝐋 vezes 𝐬 é igual à raiz quadrada de sete ao quadrado mais menos um ao quadrado mais menos 21 ao quadrado. 00:08:31.560 --> 00:08:42.000 E então dividimos isso pela magnitude de 𝐬, que é igual à raiz quadrada de menos três ao quadrado mais zero ao quadrado mais menos um ao quadrado. 00:08:43.480 --> 00:08:52.120 Inserindo essa expressão em nossa calculadora e mantendo nosso resultado em uma casa decimal, obtemos uma resposta de 7,0. 00:08:53.000 --> 00:09:01.640 Nossa resposta final é que a distância perpendicular do ponto dado à reta dada é igual a 7,0 unidades de comprimento. 00:09:03.760 --> 00:09:09.760 Vejamos agora outro exemplo em que encontramos a distância mínima entre um ponto e uma reta. 00:09:11.000 --> 00:09:28.360 Determine, para o centésimo mais próximo, o comprimento da perpendicular desenhada do ponto menos cinco, menos sete, menos 10 para a reta 𝑥 mais oito sobre dois é igual a 𝑦 menos nove sobre oito é igual a 𝑧 mais sete sobre menos oito. 00:09:30.080 --> 00:09:37.800 Ok, então aqui temos este ponto conhecido no espaço e também sabemos que há uma linha reta passando pelo espaço. 00:09:38.600 --> 00:09:43.320 E queremos saber o comprimento da perpendicular da reta ao ponto. 00:09:44.000 --> 00:09:45.960 Vamos chamar esse comprimento de 𝑑. 00:09:46.760 --> 00:09:52.120 Podemos lembrar que 𝑑 é dado por essa expressão, onde 𝐬 e 𝐏𝐋 são vetores. 00:09:52.920 --> 00:09:56.880 A condição para o vetor 𝐬 é que ele seja paralelo à nossa reta dada. 00:09:57.480 --> 00:10:08.640 Em relação ao vetor 𝐏𝐋, este é um vetor que aponta do nosso ponto dado no espaço, e vamos chamar esse ponto de 𝑃, para um ponto que se encontra em algum lugar ao longo de nossa reta. 00:10:09.120 --> 00:10:10.760 E vamos chamar esse ponto de 𝐿. 00:10:11.600 --> 00:10:13.680 É assim que o vetor se parece. 00:10:14.120 --> 00:10:26.560 Podemos ver que, para resolver a distância 𝑑, precisaremos conhecer as componentes de um vetor paralelo à nossa reta, as coordenadas de um ponto na reta e as coordenadas de um ponto no espaço. 00:10:28.360 --> 00:10:30.920 Recebemos as coordenadas do ponto 𝑃. 00:10:31.280 --> 00:10:37.240 E para resolver 𝐬 e 𝐿, usaremos a equação de nossa reta dada aqui. 00:10:38.080 --> 00:10:43.640 O que queremos fazer é converter a forma dessa equação no que é chamado de forma vetorial. 00:10:44.520 --> 00:10:48.600 É dado a nós no que é chamado de forma simétrica. 00:10:49.120 --> 00:10:57.840 E podemos escrever assim porque todas essas três frações são iguais a um fator de escala que podemos chamar de 𝑡. 00:10:59.160 --> 00:11:06.680 Isso significa que podemos escrever equações separadas para as coordenadas 𝑥, 𝑦 e 𝑧 de nossa reta. 00:11:08.160 --> 00:11:16.720 Por exemplo, o fato de que 𝑥 mais oito sobre dois é igual a 𝑡 significa que 𝑥 deve ser igual a duas vezes 𝑡 menos oito. 00:11:17.360 --> 00:11:25.480 Da mesma forma, como 𝑦 menos nove sobre oito é igual a 𝑡, podemos dizer que 𝑦 é igual a oito 𝑡 mais nove. 00:11:26.400 --> 00:11:33.680 E, por último, 𝑧 mais sete sobre menos oito igualando 𝑡 implica que 𝑧 é igual a menos oito 𝑡 menos sete. 00:11:35.600 --> 00:11:40.480 Agora, nossa reta é expressa no que é chamado de forma paramétrica. 00:11:41.000 --> 00:11:47.400 E com apenas algumas pequenas alterações, podemos escrever isso na forma vetorial. 00:11:48.680 --> 00:12:04.960 Se coletarmos as equações 𝑥, 𝑦 e 𝑧 juntas, podemos dizer que as componentes 𝑥, 𝑦 e 𝑧 de nossa reta são iguais a um vetor menos oito, nove, menos sete mais nosso fator de escala 𝑡 vezes o vetor dois, oito, menos oito. 00:12:06.200 --> 00:12:21.640 Se coletarmos essas componentes 𝑥, 𝑦 e 𝑧 em um único vetor, chamaremos de 𝐫, então 𝐫 é igual ao vetor menos oito, nove, menos sete mais o fator de escala 𝑡 vezes o vetor dois, oito, menos oito. 00:12:23.520 --> 00:12:31.400 Este primeiro vetor em nossa equação é um vetor da origem de um quadro de coordenadas até um ponto na reta. 00:12:32.120 --> 00:12:40.760 Isso nos diz então que o ponto com coordenadas menos oito, nove, menos sete está ao longo de nossa reta. 00:12:41.520 --> 00:12:48.480 E aqui, esse vetor que multiplicamos por 𝑡 é um vetor que percorre o comprimento da nossa reta. 00:12:49.160 --> 00:12:51.920 Em outras palavras, é paralelo a isso. 00:12:53.320 --> 00:13:00.640 Tudo isso significa que conhecemos as componentes de um vetor paralelo à nossa reta e as coordenadas de um ponto sobre ela. 00:13:01.400 --> 00:13:10.960 O vetor 𝐬 tem componentes dois, oito, menos oito e o ponto 𝐿 tem coordenadas menos oito, nove, menos sete. 00:13:11.960 --> 00:13:17.600 Sabendo disso, podemos agora definir as componentes do vetor 𝐏𝐋 em nosso cenário. 00:13:18.960 --> 00:13:23.280 É igual às coordenadas do ponto 𝐿 menos as do ponto 𝑃. 00:13:23.840 --> 00:13:29.520 Obtemos um vetor com componentes menos três, 16, três. 00:13:31.400 --> 00:13:38.880 Agora que sabemos as componentes de 𝐬 e 𝐏𝐋, estamos prontos para calcular o produto vetorial desses vetores. 00:13:39.920 --> 00:13:44.240 Isso é igual ao determinante dessa matriz três por três. 00:13:45.000 --> 00:13:56.440 Aqui, em nossa primeira linha estão os vetores unitários 𝐢, 𝐣 e 𝐤 e na segunda e terceira linhas os componentes correspondentes dos vetores 𝐏𝐋 e 𝐬, respectivamente. 00:13:57.600 --> 00:14:15.720 Isso é igual a 𝐢 chapéu vezes menos 152 menos 𝐣 chapéu vezes 18 mais 𝐤 chapéu vezes menos 56 ou, em outras palavras, um vetor com componentes menos 152, menos 18, menos 56. 00:14:17.360 --> 00:14:24.200 Agora estamos prontos para calcular a magnitude desse produto vetorial e dividi-lo pela magnitude de 𝐬. 00:14:25.200 --> 00:14:37.640 A magnitude de 𝐏𝐋 cruzado 𝐬 é igual à raiz quadrada de menos 152 ao quadrado mais menos 18 ao quadrado mais menos 56 ao quadrado. 00:14:38.840 --> 00:14:47.320 Em seguida, dividimos isso pela magnitude de 𝐬, ele próprio igual à raiz quadrada de dois ao quadrado mais oito ao quadrado mais menos oito ao quadrado. 00:14:48.640 --> 00:14:57.320 Quando calculamos essa fração inteira aqui, o resultado, arredondado para o centésimo mais próximo, é 14,19. 00:14:58.120 --> 00:15:03.520 Este é o comprimento da perpendicular do ponto dado à reta dada. 00:15:05.600 --> 00:15:10.440 Vamos agora ver um exemplo em que calculamos a distância entre duas retas paralelas. 00:15:11.800 --> 00:15:33.080 Encontre, para o centésimo mais próximo, a distância entre as retas paralelas 𝐿 um, 𝑥 mais sete sobre nove é igual a 𝑦 mais um sobre cinco é igual a 𝑧 menos sete sobre menos seis e 𝐿 dois, 𝑥 mais três sobre nove é igual a 𝑦 mais 10 sobre cinco é igual a 𝑧 mais 10 sobre menos seis. 00:15:34.640 --> 00:15:41.080 Ok, então aqui temos essas duas retas que são paralelas, 𝐿 um e 𝐿 dois. 00:15:41.760 --> 00:15:50.360 Nossa pergunta nos pede para resolver a distância entre elas, ou seja, a distância mínima ou perpendicular entre essas retas. 00:15:51.320 --> 00:15:57.520 Vamos chamar essa distância de 𝑑, e podemos nos lembrar da relação matemática para essa distância. 00:15:58.280 --> 00:16:04.800 O que precisamos saber são as componentes de um vetor, que chamamos de 𝐬, que corre paralelamente às nossas duas retas. 00:16:05.840 --> 00:16:14.200 E também precisaremos conhecer as componentes de um vetor 𝐏𝐋 que vai de um ponto em nossa segunda reta a um ponto em nossa primeira reta. 00:16:15.200 --> 00:16:24.280 Podemos dizer então que, para calcular 𝑑, as coordenadas dos pontos 𝑃 e 𝐿 e as componentes do vetor 𝐬 são o que precisamos saber. 00:16:25.960 --> 00:16:32.640 Para resolver essa informação, vamos dar uma olhada nas equações dadas das retas um e dois. 00:16:33.960 --> 00:16:39.040 Começando com a reta um, isso é dado na chamada forma simétrica. 00:16:39.840 --> 00:16:47.080 Podemos escrever essas três frações como sendo iguais uma à outra porque dizemos que elas também são iguais a um fator de escala. 00:16:48.160 --> 00:16:50.280 Podemos chamá-la de 𝑡 um. 00:16:51.400 --> 00:17:03.000 O fato de essas três frações serem todas iguais a 𝑡 um significa que podemos escrever equações separadas para as coordenadas 𝑥, 𝑦 e 𝑧 da reta 𝐿 um. 00:17:04.200 --> 00:17:15.160 Ou seja, como 𝑥 mais sete dividido por nove é igual a 𝑡 um, podemos escrever que 𝑥 é igual a nove vezes 𝑡 um menos sete. 00:17:16.280 --> 00:17:25.160 De maneira semelhante, como 𝑦 mais um dividido por cinco é igual a 𝑡 um, 𝑦 é igual a cinco vezes 𝑡 um menos um. 00:17:26.000 --> 00:17:33.800 E então, 𝑧 menos sete sobre menos seis igual a 𝑡 um implica que 𝑧 é igual a menos seis 𝑡 um mais sete. 00:17:35.600 --> 00:17:39.200 A linha 𝐿 um agora está escrita no que é chamado de forma paramétrica. 00:17:39.800 --> 00:17:45.400 Podemos combinar essas três equações separadas em uma equação vetorial. 00:17:46.560 --> 00:17:58.960 O vetor com componentes 𝑥, 𝑦, 𝑧 é igual ao vetor a menos sete, menos um, sete mais o nosso fator de escala 𝑡 um vezes o vetor nove, cinco, menos seis. 00:18:00.760 --> 00:18:16.120 Agora, se pegarmos nossas componentes 𝑥, 𝑦 e 𝑧 e escrevê-las como o vetor 𝐫, isso é igual ao vetor menos sete, menos um, sete mais 𝑡 um vezes o vetor nove, cinco, menos seis. 00:18:16.960 --> 00:18:25.160 Este primeiro vetor é um vetor da origem de um sistema de coordenadas para um ponto na reta 𝐿 um. 00:18:26.160 --> 00:18:32.760 Ou seja, o ponto com coordenadas menos sete, menos um, sete está em 𝐿 um. 00:18:33.520 --> 00:18:38.120 E então, em relação ao segundo vetor, este é um vetor que se encontra ao longo do eixo desta reta. 00:18:39.120 --> 00:18:41.360 Isso significa que é paralelo à reta. 00:18:41.880 --> 00:18:45.520 E, portanto, podemos dizer que esse é o nosso vetor 𝐬. 00:18:46.880 --> 00:18:52.040 Até agora, temos as componentes de um vetor paralelo a ambas as nossas retas. 00:18:52.800 --> 00:18:56.280 E também temos as coordenadas de um ponto em nossa primeira reta. 00:18:57.240 --> 00:19:03.840 Para encontrar as coordenadas de um ponto em nossa segunda reta, vamos examinar a equação dessa reta. 00:19:05.080 --> 00:19:09.200 Mais uma vez, essa equação nos é dada de forma simétrica. 00:19:09.920 --> 00:19:18.440 Isso significa que podemos dizer que cada uma dessas frações é igual a outro fator de escala que chamaremos de 𝑡 dois. 00:19:20.280 --> 00:19:37.120 Se escrevermos novamente equações separadas para 𝑥, 𝑦 e 𝑧, descobriremos que 𝑥 é igual a nove 𝑡 dois menos três, 𝑦 é igual a cinco 𝑡 dois menos 10 e 𝑧 é igual a menos seis 𝑡 dois menos 10. 00:19:38.840 --> 00:19:45.760 Mais uma vez, podemos escrever essas equações paramétricas como uma equação vetorial. 00:19:47.080 --> 00:19:59.400 Um vetor com componentes 𝑥, 𝑦 e 𝑧 é igual ao vetor menos três, menos 10, menos 10 mais 𝑡 dois vezes o vetor nove, cinco, menos seis. 00:20:00.080 --> 00:20:09.120 Escrito dessa maneira, sabemos que esse vetor viaja da origem de um quadro de coordenadas até um ponto ao longo de nossa reta 𝐿 dois. 00:20:10.320 --> 00:20:16.280 Isso nos diz que as coordenadas desse ponto são simplesmente as componentes do vetor. 00:20:17.120 --> 00:20:23.800 Podemos escrever então que as coordenadas do ponto que chamamos de 𝑃 são menos três, menos 10, menos 10. 00:20:25.120 --> 00:20:31.760 Nosso próximo passo é usar as coordenadas dos pontos 𝐿 e 𝑃 para resolver o vetor 𝐏𝐋. 00:20:32.520 --> 00:20:39.440 Este é o vetor com componentes iguais à diferença entre as coordenadas do ponto 𝐿 e as do ponto 𝑃. 00:20:40.680 --> 00:20:46.920 𝐏𝐋, portanto, tem componentes menos quatro, nove, 17. 00:20:49.120 --> 00:20:54.680 Agora podemos avançar calculando o produto vetorial dos vetores 𝐏𝐋 e 𝐬. 00:20:55.440 --> 00:20:58.040 Isso é igual ao determinante dessa matriz. 00:20:58.920 --> 00:21:06.040 E observe que, por coluna, temos as componentes 𝑥, 𝑦 e 𝑧 de nossos dois vetores. 00:21:07.200 --> 00:21:19.640 Calculando esse produto vetorial, obtemos 𝐢 chapéu vezes menos 139 menos 𝐣 chapéu vezes menos 129 mais 𝐤 chapéu vezes menos 101. 00:21:20.480 --> 00:21:31.400 Podemos escrever esse resultado como um vetor com componentes menos 139, 129 e menos 101. 00:21:32.880 --> 00:21:44.080 Agora que sabemos 𝐏𝐋 concorrente a 𝐬, estamos prontos para calcular a magnitude desse produto vetorial e dividi-la pela magnitude de 𝐬. 00:21:45.680 --> 00:21:56.680 A magnitude de 𝐏𝐋 concorrente a 𝐬 é igual à raiz quadrada de menos 139 ao quadrado mais 129 ao quadrado mais menos 101 ao quadrado. 00:21:57.640 --> 00:22:05.600 Dividimos isso pela magnitude de 𝐬, que em si é a raiz quadrada de nove ao quadrado mais cinco ao quadrado mais menos seis ao quadrado. 00:22:06.840 --> 00:22:14.520 Calculando toda essa fração, arredondando para o centésimo mais próximo, obtemos uma resposta de 18,03. 00:22:15.400 --> 00:22:24.880 Dizemos então que a distância entre essas duas retas paralelas é de 18,03 unidades de comprimento. 00:22:26.320 --> 00:22:29.800 Vamos terminar nossa aula agora resumindo alguns pontos-chave. 00:22:30.640 --> 00:22:39.240 Nesta aula, vimos que dado um ponto e uma reta no espaço, a distância perpendicular entre eles é dada por essa expressão. 00:22:40.000 --> 00:22:50.000 𝐏𝐋 é um vetor que vai de um ponto 𝑃 no espaço para um ponto 𝐿 na reta em questão e 𝐬 é um vetor paralelo a essa reta. 00:22:50.960 --> 00:23:00.040 Vimos também que, dadas duas retas paralelas no espaço, a distância perpendicular entre elas é dada pela mesma expressão. 00:23:00.880 --> 00:23:17.840 Nesse caso, 𝐬 é um vetor paralelo a ambas as retas, 𝑃 é um ponto que fica em uma reta, 𝐿 é um ponto que fica na outra e, mais uma vez, 𝐏𝐋 é um vetor que vai do ponto 𝑃 ao ponto 𝐿.