WEBVTT 00:00:01.240 --> 00:00:12.680 Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment calculer la distance perpendiculaire entre un point et une droite ou entre deux droites parallèles dans l’espace en utilisant une formule. 00:00:13.320 --> 00:00:17.720 Et comme nous allons le voir, on peut utiliser la même formule dans les deux cas. 00:00:19.840 --> 00:00:26.560 Pour commencer, considérons ce premier cas, déterminer la distance perpendiculaire entre un point et une droite. 00:00:27.680 --> 00:00:35.960 Si voici notre point et notre droite, alors cette distance ressemblerait à ceci, et on peut l’appeler 𝑑. 00:00:36.760 --> 00:00:42.080 Pour déterminer 𝑑, il nous faut trois informations. 00:00:42.760 --> 00:00:46.960 Tout d’abord, nous devons connaître les coordonnées de notre point dans l’espace. 00:00:47.560 --> 00:00:49.320 Nous allons appeler ce point 𝑃. 00:00:49.560 --> 00:00:54.880 Nous devrons également connaître les coordonnées d’un point sur la droite. 00:00:55.600 --> 00:01:00.120 Cela pourrait être n’importe où sur la droite, et nous allons appeler ce point 𝐿. 00:01:00.880 --> 00:01:08.840 Enfin, nous devrons connaître les composantes d’un vecteur parallèle à notre droite, et nous allons appeler ce vecteur 𝐬. 00:01:09.840 --> 00:01:18.320 Dans notre scénario, nous allons appeler ce point 𝑃, et supposer que nous connaissons également un point sur la droite. 00:01:19.000 --> 00:01:23.640 Et comme nous l’avons dit, cela peut être un point quelconque sur la droite. 00:01:24.240 --> 00:01:32.840 Et enfin, supposons aussi que nous connaissons les composantes d’un vecteur, que nous avons appelé 𝐬, qui est parallèle à notre droite. 00:01:33.560 --> 00:01:43.240 Notre affirmation est qu’une fois qu’on a ces informations, on peut déterminer la distance minimale, la distance perpendiculaire, entre notre point et la droite. 00:01:44.600 --> 00:01:47.920 Voici comment nous pouvons le faire. 00:01:48.760 --> 00:01:53.400 Tout d’abord, nous allons créer un vecteur qui va du point 𝑃 au point 𝐿. 00:01:53.880 --> 00:01:56.400 Nous allons appeler ce vecteur 𝐏𝐋. 00:01:57.440 --> 00:02:04.360 Et remarquez comment le vecteur 𝐏𝐋 et le vecteur 𝐬 forment les deux côtés d’un parallélogramme. 00:02:05.520 --> 00:02:16.400 Si on appelle l’aire de ce parallélogramme 𝐴, alors on peut dire que la norme du produit vectoriel du vecteur 𝐏𝐋 et du vecteur 𝐬 est égale à cette aire. 00:02:18.280 --> 00:02:22.320 Maintenant, sur notre dessin, voici quelque chose d’intéressant. 00:02:23.040 --> 00:02:37.040 Si on considère la distance perpendiculaire 𝑑 et qu’on la déplace pour qu’elle soit en contact avec l’extrémité arrière du vecteur 𝐬, alors cette distance 𝑑 multipliée par la norme du vecteur 𝐬 nous donne l’aire de ce rectangle. 00:02:38.320 --> 00:02:46.760 Et l’aire de ce rectangle en orange et l’aire du parallélogramme en rose sont identiques. 00:02:47.680 --> 00:03:00.000 Donc, non seulement on peut dire que la norme du produit vectoriel de 𝐏𝐋 et 𝐬 est égal à 𝐴, mais on peut aussi dire que 𝑑 fois la norme de 𝐬 est égal à 𝐴. 00:03:00.960 --> 00:03:05.040 Cela signifie qu’on peut écrire cette équation ici. 00:03:05.680 --> 00:03:16.800 Et si on divise les deux côtés par la norme du vecteur 𝐬, ce qui élimine ce facteur à gauche, on obtient cette expression pour la distance perpendiculaire 𝑑. 00:03:18.320 --> 00:03:30.440 Et comme nous l’avons vu, les trois choses dont nous avons besoin pour calculer 𝑑 sont un point dans l’espace, un point sur notre droite et un vecteur parallèle à la droite. 00:03:32.240 --> 00:03:41.200 Sachant cela, changeons notre scénario et déterminons maintenant la distance perpendiculaire entre deux droites parallèles. 00:03:42.440 --> 00:03:47.080 Ce qui est intéressant ici c’est à quel point ça ressemble au cas précédent. 00:03:48.040 --> 00:04:05.560 Encore une fois, pour calculer 𝑑, nous devons savoir trois choses : un point sur la première droite, nous allons appeler ce point 𝐿 ; un point quelque part sur la deuxième droite, nous allons appeler ce point 𝑃 ; et nous avons aussi besoin d’un vecteur parallèle aux deux droites. 00:04:06.760 --> 00:04:18.520 Sachant tout cela, nous pouvons à nouveau définir un vecteur du point 𝑃 au point 𝐿 et l’utiliser ainsi que le vecteur 𝐬 dans notre équation pour déterminer 𝑑. 00:04:19.440 --> 00:04:22.600 La meilleure façon d’assimiler tout cela est en traitant quelques exemples. 00:04:23.120 --> 00:04:25.080 Voyons maintenant un exemple. 00:04:26.640 --> 00:04:39.560 Déterminez, au dixième près, la distance perpendiculaire du point moins trois, moins quatre, zéro à la droite donnée par les points un, trois, un et quatre, trois, deux. 00:04:40.960 --> 00:04:48.800 Bien, nous avons donc ces deux points dans l’espace avec les coordonnées un, trois, un et quatre, trois, deux. 00:04:49.520 --> 00:04:52.240 Et on nous dit qu’une droite passe par ces deux points. 00:04:53.320 --> 00:04:57.880 En plus de cela, il y a un troisième point dont nous connaissons les coordonnées. 00:04:58.360 --> 00:05:03.920 Et nous voulons déterminer la distance perpendiculaire entre ce troisième point et la droite. 00:05:04.560 --> 00:05:06.640 Nous allons appeler cette distance 𝑑. 00:05:07.880 --> 00:05:14.760 Pour commencer, nous pouvons rappeler l’équation de la distance perpendiculaire entre une droite et un point dans l’espace. 00:05:15.560 --> 00:05:30.080 Pour effectuer ce calcul, nous devons connaître les coordonnées d’un point dans l’espace, nous les avons, ainsi que les coordonnées d’un point sur notre droite, et nous en avons deux. 00:05:30.880 --> 00:05:39.160 La dernière chose à faire pour utiliser cette équation pour 𝑑, est de trouver les composantes d’un vecteur qui est parallèle à notre droite. 00:05:39.760 --> 00:05:42.680 On ne nous donne pas cette information. 00:05:44.120 --> 00:05:59.680 Mais notez que si nous dessinions un vecteur d’un point donné de notre droite à l’autre, alors ce vecteur serait parallèle à notre droite et nous pourrions l’utiliser dans notre équation pour déterminer 𝑑. 00:06:00.800 --> 00:06:12.440 Si on appelle ce vecteur 𝐬, on peut voir que ses composantes sont égales aux coordonnées de notre premier point sur la droite - un, trois, un - moins celles du second point. 00:06:13.560 --> 00:06:18.960 On obtient un vecteur avec des composantes moins trois, zéro, moins un. 00:06:20.040 --> 00:06:28.960 Maintenant que nous connaissons le vecteur 𝐬 que nous allons utiliser dans notre équation pour 𝑑, considérons ce vecteur 𝐏𝐋. 00:06:30.480 --> 00:06:39.680 Ici, 𝑃 est un point dans l’espace tridimensionnel et 𝐿 est un point quelque part sur notre droite. 00:06:40.920 --> 00:06:48.600 Supposons que sur notre droite, on choisit le point un, trois, un pour représenter le point 𝐿. 00:06:49.680 --> 00:06:52.920 Cela signifie que le vecteur 𝐏𝐋 ressemblera à ceci. 00:06:53.440 --> 00:07:00.640 Et on peut déterminer les composantes de ce vecteur de la même manière que celles de 𝐬. 00:07:02.320 --> 00:07:06.320 On soustrait les coordonnées du point 𝑃 de celles du point 𝐿. 00:07:07.040 --> 00:07:12.280 Et on obtient que 𝐏𝐋 a les composantes quatre, sept et un. 00:07:12.920 --> 00:07:18.400 Nous avons maintenant toutes les informations nécessaires pour commencer à calculer notre distance perpendiculaire. 00:07:19.360 --> 00:07:24.320 Nous allons commencer par calculer le produit vectoriel de 𝐏𝐋 et 𝐬. 00:07:25.400 --> 00:07:30.320 C’est égal au déterminant de cette matrice trois trois. 00:07:31.520 --> 00:07:37.200 Ici, notre première ligne contient les vecteurs unitaires 𝐢, 𝐣 et 𝐤. 00:07:37.920 --> 00:07:44.320 Et les deuxième et troisième lignes sont les composantes respectives des vecteurs 𝐏𝐋 et 𝐬. 00:07:46.120 --> 00:07:56.160 Si on évalue composante par composante, on obtient 𝐢 fois moins sept moins 𝐣 fois moins un plus 𝐤 fois 21. 00:07:57.400 --> 00:08:04.920 Nous pouvons également écrire cela comme le vecteur avec les composantes moins sept, un, 21. 00:08:05.760 --> 00:08:11.400 Ce sont les composantes du produit vectoriel de 𝐏D et 𝐬. 00:08:12.480 --> 00:08:19.440 Et maintenant, nous pouvons prendre la norme de ce produit vectoriel et la diviser par la norme de 𝐬. 00:08:20.920 --> 00:08:30.320 La norme du produit vectoriel de 𝐏𝐋 et 𝐬 est égale à la racine carrée de moins sept au carré plus un au carré plus 21 au carré. 00:08:31.560 --> 00:08:42.000 Et on divise ensuite cela par la norme de 𝐬, qui est égale à la racine carrée de moins trois au carré plus zéro au carré plus moins un au carré. 00:08:43.480 --> 00:08:52.120 Si on saisit cette expression sur une calculatrice tout en gardant le résultat au dixième près, on obtient une réponse de 7,0. 00:08:53.000 --> 00:09:01.640 Notre réponse finale est alors que la distance perpendiculaire du point donné à la droite donnée est égale à 7,0 unités de longueur. 00:09:03.760 --> 00:09:09.760 Voyons maintenant un autre exemple dans lequel on calcule la distance minimale entre un point et une droite. 00:09:11.000 --> 00:09:28.360 Déterminez, au centième près, la longueur de la droite perpendiculaire du point moins cinq, moins sept, moins 10 à la droite 𝑥 plus huit sur deux est égal à 𝑦 moins neuf sur huit est égal à 𝑧 plus sept sur moins huit. 00:09:30.080 --> 00:09:37.800 Alors, nous avons donc ce point dans l’espace et nous savons également qu’une droite traverse l’espace. 00:09:38.600 --> 00:09:43.320 Et nous voulons connaître la longueur de la perpendiculaire de la droite au point. 00:09:44.000 --> 00:09:45.960 Nous appellerons cette longueur 𝑑. 00:09:46.760 --> 00:09:52.120 On peut rappeler que 𝑑 est donnée par cette expression, où 𝐬 et 𝐏𝐋 sont des vecteurs. 00:09:52.920 --> 00:09:56.880 La condition du vecteur 𝐬 est qu’il soit parallèle à notre droite donnée. 00:09:57.480 --> 00:10:08.640 En ce qui concerne le vecteur 𝐏𝐋, il s’agit d’un vecteur qui pointe de notre point dans l’espace, et nous appellerons ce point 𝑃, en un point situé quelque part sur notre droite. 00:10:09.120 --> 00:10:10.760 Et nous appellerons ce point 𝐿. 00:10:11.600 --> 00:10:13.680 Voici donc à quoi ressemble ce vecteur. 00:10:14.120 --> 00:10:26.560 On peut voir que, pour déterminer la distance 𝑑, on doit connaître les composantes d’un vecteur parallèle à notre droite, les coordonnées d’un point sur la droite et les coordonnées d’un point dans l’espace. 00:10:28.360 --> 00:10:30.920 On nous donne les coordonnées du point 𝑃. 00:10:31.280 --> 00:10:37.240 Et pour déterminer 𝐬 et 𝐿, nous allons utiliser l’équation de notre droite donnée ici. 00:10:38.080 --> 00:10:43.640 Nous devons convertir la forme de cette équation en ce qu’on appelle la forme vectorielle. 00:10:44.520 --> 00:10:48.600 Elle nous est donnée sous la forme cartésienne. 00:10:49.120 --> 00:10:57.840 Et nous pouvons l’écrire de cette façon car ces trois fractions sont égales à un facteur d’échelle que nous pouvons appeler 𝑡. 00:10:59.160 --> 00:11:06.680 Cela signifie qu’on peut écrire des équations séparées pour les coordonnées 𝑥, 𝑦 et 𝑧 de notre droite. 00:11:08.160 --> 00:11:16.720 Par exemple, le fait que 𝑥 plus huit sur deux égale 𝑡 signifie que 𝑥 doit être égal à deux fois 𝑡 moins huit. 00:11:17.360 --> 00:11:25.480 De même, puisque 𝑦 moins neuf sur huit est égal à 𝑡, on peut dire que 𝑦 est égal à huit 𝑡 plus neuf. 00:11:26.400 --> 00:11:33.680 Et enfin, 𝑧 plus sept sur moins huit égale 𝑡 implique que 𝑧 est égal à moins huit 𝑡 moins sept. 00:11:35.600 --> 00:11:40.480 Maintenant, notre droite est exprimée sous ce qu’on appelle la forme paramétrique. 00:11:41.000 --> 00:11:47.400 Et avec seulement quelques petits changements, on peut l’écrire sous forme vectorielle. 00:11:48.680 --> 00:12:04.960 Si on rassemble les équations 𝑥, 𝑦 et 𝑧, on peut dire que les composantes 𝑥, 𝑦 et 𝑧 de la droite sont égales à un vecteur moins huit, neuf, moins sept plus le facteur d’échelle 𝑡 fois le vecteur deux, huit, moins huit. 00:12:06.200 --> 00:12:21.640 Si on rassemble ces composantes 𝑥, 𝑦 et 𝑧 en un seul vecteur que nous allons appeler 𝐫, alors 𝐫 est égal au vecteur moins huit, neuf, moins sept plus le facteur d’échelle 𝑡 fois le vecteur deux, huit, moins huit. 00:12:23.520 --> 00:12:31.400 Ce premier vecteur de notre équation est un vecteur de l’origine du repère à un point sur la droite. 00:12:32.120 --> 00:12:40.760 Cela nous dit alors que le point avec les coordonnées moins huit, neuf, moins sept se trouve sur notre droite. 00:12:41.520 --> 00:12:48.480 Et puis ici, ce vecteur qu’on multiplie par 𝑡 est un vecteur qui est sur notre droite. 00:12:49.160 --> 00:12:51.920 En d’autres termes, c’est parallèle à la droite 00:12:53.320 --> 00:13:00.640 Tout cela signifie que nous connaissons les composantes d’un vecteur parallèle à notre droite et les coordonnées d’un point sur celle-ci. 00:13:01.400 --> 00:13:10.960 Les composantes du vecteur 𝐬 sont deux, huit, moins huit, et les coordonnées du point 𝐿 sont moins huit, neuf, moins sept. 00:13:11.960 --> 00:13:17.600 Sachant cela, nous pouvons maintenant définir les composantes du vecteur 𝐏𝐋 dans notre scénario. 00:13:18.960 --> 00:13:23.280 C’est égal aux coordonnées du point 𝐿 moins celles du point 𝑃. 00:13:23.840 --> 00:13:29.520 On obtient un vecteur dont les composantes sont moins trois, 16, trois. 00:13:31.400 --> 00:13:38.880 Maintenant que nous connaissons les composantes de 𝐬 et 𝐏𝐋, nous pouvons calculer le produit vectoriel de ces vecteurs. 00:13:39.920 --> 00:13:44.240 C’est égal au déterminant de cette matrice trois trois. 00:13:45.000 --> 00:13:56.440 Ici, dans notre première ligne se trouvent les vecteurs unitaires 𝐢, 𝐣 et 𝐤 et dans les deuxième et troisième lignes les composantes correspondantes des vecteurs 𝐏𝐋 et 𝐬, respectivement. 00:13:57.600 --> 00:14:15.720 Ceci est égal à 𝐢 fois moins 152 moins 𝐣 fois 18 plus 𝐤 fois moins 56 ou, en d’autres termes, un vecteur avec les composantes moins 152, moins 18, moins 56. 00:14:17.360 --> 00:14:24.200 Nous pouvons maintenant calculer la norme de ce produit vectoriel, puis la diviser par la norme de 𝐬. 00:14:25.200 --> 00:14:37.640 La norme du produit vectoriel de 𝐏𝐋 et 𝐬 est égale à la racine carrée de moins 152 au carré plus moins 18 au carré plus moins 56 au carré. 00:14:38.840 --> 00:14:47.320 On divise ensuite cela par la norme de 𝐬, elle-même égale à la racine carrée de deux au carré plus huit au carré plus moins huit au carré. 00:14:48.640 --> 00:14:57.320 Lorsqu’on évalue toute cette fraction, le résultat, arrondi au centième près, est 14,19. 00:14:58.120 --> 00:15:03.520 Voici donc la longueur de la perpendiculaire du point donné à la droite donnée. 00:15:05.600 --> 00:15:10.440 Voyons maintenant un exemple dans lequel on calcule la distance entre deux droites parallèles. 00:15:11.800 --> 00:15:33.080 Déterminez, au centième près, la distance entre les droites parallèles 𝐷 un, 𝑥 plus sept sur neuf égale 𝑦 plus un sur cinq égale 𝑧 moins sept sur moins six, et 𝐷 deux, 𝑥 plus trois sur neuf égale 𝑦 plus 10 sur cinq égale 𝑧 plus 10 sur moins six. 00:15:34.640 --> 00:15:41.080 Eh bien, nous avons ces deux droites qui sont parallèles, 𝐷 un et 𝐷 deux. 00:15:41.760 --> 00:15:50.360 Notre question nous demande de déterminer la distance entre elles, ce qui signifie la distance minimale ou perpendiculaire entre ces droites. 00:15:51.320 --> 00:15:57.520 Appelons cette distance 𝑑, et rappelons la relation mathématique pour cette distance. 00:15:58.280 --> 00:16:04.800 Ce que nous devrons connaitre sont les composantes d’un vecteur, nous l’avons appelé 𝐬, qui est parallèle à nos deux droites. 00:16:05.840 --> 00:16:14.200 Et nous devrons également connaître les composantes d’un vecteur 𝐏𝐋 qui s’étend d’un point sur notre seconde droite à un point sur notre première droite. 00:16:15.200 --> 00:16:24.280 On peut alors dire que, pour calculer 𝑑, les coordonnées des points 𝑃 et 𝐿 et les composantes du vecteur 𝐬 sont ce que nous devons connaitre. 00:16:25.960 --> 00:16:32.640 Pour déterminer cette information, regardons les équations données des droites un et deux. 00:16:33.960 --> 00:16:39.040 En commençant par la première droite, elle est sous sa forme cartésienne. 00:16:39.840 --> 00:16:47.080 Nous pouvons écrire ces trois fractions comme étant égales l’une à l’autre car nous disons qu’elles sont aussi égales à un facteur d’échelle. 00:16:48.160 --> 00:16:50.280 Nous pouvons l’appeler 𝑡 un. 00:16:51.400 --> 00:17:03.000 Le fait que ces trois fractions soient toutes égales à 𝑡 un signifie qu’on peut écrire des équations séparées pour les coordonnées 𝑥, 𝑦 et 𝑧 de la droite 𝐷 un. 00:17:04.200 --> 00:17:15.160 Autrement dit, puisque 𝑥 plus sept divisé par neuf est égal à 𝑡 un, on peut écrire 𝑥 égale neuf fois 𝑡 un moins sept. 00:17:16.280 --> 00:17:25.160 De la même manière, puisque 𝑦 plus un divisé par cinq est égal à 𝑡 un, 𝑦 est égal à cinq fois 𝑡 un moins un. 00:17:26.000 --> 00:17:33.800 Et puis, 𝑧 moins sept sur moins six égale 𝑡 un implique que 𝑧 est égal à moins six 𝑡 un plus sept. 00:17:35.600 --> 00:17:39.200 La droite 𝐷 un est maintenant sous forme paramétrique. 00:17:39.800 --> 00:17:45.400 Nous pouvons combiner ces trois équations en une équation vectorielle. 00:17:46.560 --> 00:17:58.960 Le vecteur de composantes 𝑥, 𝑦, 𝑧 est égal au vecteur moins sept, moins un, sept plus le facteur d’échelle 𝑡 un fois le vecteur neuf, cinq, moins six. 00:18:00.760 --> 00:18:16.120 Maintenant, si on prend les composantes 𝑥, 𝑦 et 𝑧 et on les écrit comme le vecteur 𝐫, alors cela est égal au vecteur moins sept, moins un, sept plus 𝑡 un fois le vecteur neuf, cinq, moins six. 00:18:16.960 --> 00:18:25.160 Ce premier vecteur est un vecteur de l’origine du repère jusqu’à un point sur la droite 𝐷 un. 00:18:26.160 --> 00:18:32.760 Autrement dit, le point avec les coordonnées moins sept, moins un, sept se trouve sur 𝐷 un. 00:18:33.520 --> 00:18:38.120 Et puis, en ce qui concerne le second vecteur, c’est un vecteur qui se trouve le long de cette droite. 00:18:39.120 --> 00:18:41.360 Cela signifie que c’est parallèle à la droite. 00:18:41.880 --> 00:18:45.520 Et par conséquent, nous pouvons dire que voici notre vecteur 𝐬. 00:18:46.880 --> 00:18:52.040 Jusqu’ici, nous avons les composantes d’un vecteur parallèle à nos deux droites. 00:18:52.800 --> 00:18:56.280 Et nous avons aussi les coordonnées d’un point sur notre première droite. 00:18:57.240 --> 00:19:03.840 Pour trouver les coordonnées d’un point sur notre seconde droite, examinons l’équation de cette droite. 00:19:05.080 --> 00:19:09.200 Encore une fois, cette équation nous est donnée sous forme cartésienne 00:19:09.920 --> 00:19:18.440 Cela signifie qu’on peut dire que chacune de ces fractions est égale à un autre facteur d’échelle que nous appellerons 𝑡 deux. 00:19:20.280 --> 00:19:37.120 Si on écrit à nouveau des équations distinctes pour 𝑥, 𝑦 et 𝑧, on constate que 𝑥 est égal à neuf 𝑡 deux moins trois, 𝑦 est égal à cinq 𝑡 deux moins 10 et 𝑧 est égal à moins six 𝑡 deux moins 10. 00:19:38.840 --> 00:19:45.760 Encore une fois, on peut écrire ces équations paramétriques sous forme vectorielle. 00:19:47.080 --> 00:19:59.400 Un vecteur avec les composantes 𝑥, 𝑦 et 𝑧 est égal au vecteur moins trois, moins 10, moins 10 plus 𝑡 deux fois le vecteur neuf, cinq, moins six. 00:20:00.080 --> 00:20:09.120 Écrit ainsi, nous savons que ce vecteur va de l’origine du repère à un point sur notre droite 𝐷 deux. 00:20:10.320 --> 00:20:16.280 Cela nous indique que les coordonnées de ce point sont simplement les composantes du vecteur. 00:20:17.120 --> 00:20:23.800 Nous pouvons dire que les coordonnées du point que nous avons appelé 𝑃 sont moins trois, moins 10, moins 10. 00:20:25.120 --> 00:20:31.760 Notre prochaine étape consiste à utiliser les coordonnées des points 𝐿 et 𝑃 pour déterminer le vecteur 𝐏𝐋. 00:20:32.520 --> 00:20:39.440 Il s’agit du vecteur avec des composantes égales à la différence entre les coordonnées du point 𝐿 et celles du point 𝑃. 00:20:40.680 --> 00:20:46.920 𝐏𝐋 a donc les composantes moins quatre, neuf, 17. 00:20:49.120 --> 00:20:54.680 Nous pouvons à présent procéder à calculer le produit vectoriel des vecteurs 𝐏𝐋 et 𝐬. 00:20:55.440 --> 00:20:58.040 Cela est égal au déterminant de cette matrice. 00:20:58.920 --> 00:21:06.040 Et notez que, par colonne, nous avons les composantes 𝑥, 𝑦 et 𝑧 de nos deux vecteurs. 00:21:07.200 --> 00:21:19.640 Lorsqu’on effectue ce produit vectoriel, on obtient 𝐢 fois moins 139 moins 𝐣 fois moins 129 plus 𝐤 fois moins 101. 00:21:20.480 --> 00:21:31.400 Nous pouvons alors écrire ce résultat comme un vecteur avec les composantes moins 139, plus 129 et moins 101. 00:21:32.880 --> 00:21:44.080 Maintenant que nous connaissons le produit vectoriel de 𝐏𝐋 et 𝐬, nous pouvons calculer la norme de ce produit vectoriel et la diviser par la norme de 𝐬. 00:21:45.680 --> 00:21:56.680 La norme du produit vectoriel de 𝐏𝐋 et 𝐬 est égale à la racine carrée de moins 139 au carré plus 129 au carré plus moins 101 au carré. 00:21:57.640 --> 00:22:05.600 On divise cela par la norme de 𝐬, qui est elle-même la racine carrée de neuf au carré plus cinq au carré plus moins six au carré. 00:22:06.840 --> 00:22:14.520 Lorsqu’on évalue toute cette fraction, et on arrondit au centième près, on obtient une réponse de 18,03. 00:22:15.400 --> 00:22:24.880 On dit alors que la distance entre ces deux droites est de 18,03 unités de longueur. 00:22:26.320 --> 00:22:29.800 Terminons maintenant notre leçon en résumant quelques points clés. 00:22:30.640 --> 00:22:39.240 Dans cette leçon, nous avons vu que pour un point et une droite dans l’espace, la distance perpendiculaire entre eux est définie par cette expression. 00:22:40.000 --> 00:22:50.000 𝐏𝐋 est un vecteur allant d’un point 𝑃 dans l’espace à un point 𝐿 sur la droite en question, et 𝐬 est un vecteur parallèle à cette droite. 00:22:50.960 --> 00:23:00.040 Nous avons également vu qu’étant donné deux droites parallèles dans l’espace, la distance perpendiculaire entre elles est définie par la même expression. 00:23:00.880 --> 00:23:17.840 Dans ce cas, 𝐬 est un vecteur qui est parallèle aux deux droites, 𝑃 est un point qui se trouve sur une droite, 𝐿 est un point qui se trouve sur l’autre, et, encore une fois, 𝐏𝐋 est un vecteur qui va du point 𝑃 au point 𝐿.