WEBVTT 00:00:02.940 --> 00:00:12.220 أي مما يلي يمثل معادلة الكرة التي مركزها هو النقطة ثمانية، سالب 15، 10 وتمر من خلال النقطة سالب 14، 13، سالب 14؟ 00:00:12.550 --> 00:00:21.320 هل هو الخيار (أ) ‪𝑥‬‏ ناقص ثمانية الكل تربيع زائد ‪𝑦‬‏ زائد 15 الكل تربيع زائد ‪𝑧‬‏ ناقص 10 الكل تربيع يساوي 1,844؟ 00:00:21.640 --> 00:00:30.590 أم الخيار (ب) ‪𝑥‬‏ ناقص ثمانية الكل تربيع ناقص ‪𝑦‬‏ زائد 15 الكل تربيع ناقص ‪𝑧‬‏ ناقص 10 الكل تربيع يساوي 1,844؟ 00:00:30.850 --> 00:00:38.340 أم الخيار (ج) ‪𝑥‬‏ ناقص ثمانية الكل تربيع زائد ‪𝑦‬‏ زائد 15 الكل تربيع زائد ‪𝑧‬‏ ناقص 10 الكل تربيع يساوي 56؟ 00:00:38.640 --> 00:00:47.500 أم الخيار (د) ‪𝑥‬‏ ناقص ثمانية الكل تربيع ناقص ‪𝑦‬‏ زائد 15 الكل تربيع ناقص ‪𝑧‬‏ ناقص 10 الكل تربيع يساوي 56؟ 00:00:47.930 --> 00:00:53.170 في هذا السؤال، مطلوب منا تحديد أي المعادلات الأربعة يمثل معادلة كرة. 00:00:53.540 --> 00:00:58.160 نعلم أن مركز الكرة هو النقطة ثمانية، سالب 15، 10. 00:00:58.200 --> 00:01:04.120 ونعلم أيضًا أن هذه الكرة تمر من خلال النقطة سالب 14، 13، سالب 14. 00:01:04.400 --> 00:01:07.260 توجد عدة طرق مختلفة يمكننا استخدامها للإجابة عن هذا السؤال. 00:01:07.310 --> 00:01:12.210 على سبيل المثال، يمكننا النظر إلى الخيارات المعطاة ومحاولة استبعاد بعض هذه الخيارات. 00:01:12.420 --> 00:01:18.210 لكن، بالنظر إلى هذه الخيارات، يمكننا ملاحظة أنها مشابهة جدًّا للصورة القياسية لمعادلة الكرة. 00:01:18.400 --> 00:01:29.090 لذا سنكتفي في الإجابة عن هذا السؤال بإيجاد الصورة القياسية لمعادلة الكرة التي مركزها ثمانية، سالب 15، 10 ويمر من خلال النقطة سالب 14، 13، سالب 14. 00:01:29.490 --> 00:01:42.320 نتذكر أن الكرة التي مركزها النقطة ‪𝑎‬‏، ‪𝑏‬‏، ‪𝑐‬‏، ونصف قطرها ‪𝑟‬‏، ولا بد أن يكون موجبًا، معادلتها هي ‪𝑥‬‏ ناقص ‪𝑎‬‏ الكل تربيع زائد ‪𝑦‬‏ ناقص ‪𝑏‬‏ الكل تربيع زائد ‪𝑧‬‏ ناقص ‪𝑐‬‏ الكل تربيع يساوي ‪𝑟‬‏ تربيع. 00:01:42.610 --> 00:01:45.470 هذا ما يسمى الصورة القياسية لمعادلة الكرة. 00:01:45.770 --> 00:01:48.390 يمكن تمثيل جميع الكرات على الصورة القياسية. 00:01:48.490 --> 00:01:54.130 كل ما علينا معرفته لإيجاد الصورة القياسية لمعادلة الكرة هو مركزها ونصف قطرها. 00:01:54.390 --> 00:02:00.060 في هذا السؤال، نعلم بالفعل أن مركز الكرة هو النقطة ثمانية، سالب 15، 10. 00:02:00.440 --> 00:02:09.440 وعليه، في الصورة القياسية لمعادلة الكرة، قيمة ‪𝑎‬‏ تساوي ثمانية، وقيمة ‪𝑏‬‏ تساوي سالب 15، وقيمة ‪𝑐‬‏ تساوي 10. 00:02:09.750 --> 00:02:13.630 يمكننا التعويض بهذه القيم في الصورة القياسية لمعادلة الكرة. 00:02:14.040 --> 00:02:27.130 هذا يعني أن الصورة القياسية لمعادلة الكرة المعطاة لنا في السؤال يجب أن تكون على الصورة ‪𝑥‬‏ ناقص ثمانية الكل تربيع زائد ‪𝑦‬‏ زائد 15 الكل تربيع زائد ‪𝑧‬‏ ناقص 10 الكل تربيع يساوي ‪𝑟‬‏ تربيع، حيث ‪𝑟‬‏ يساوي نصف قطر الكرة. 00:02:27.490 --> 00:02:33.180 كل ما علينا إيجاده الآن لإيجاد الصورة القياسية لمعادلة الكرة هو إيجاد قيمة نصف القطر ‪𝑟‬‏. 00:02:33.440 --> 00:02:37.710 ولإيجاد نصف قطر هذا، علينا أن نتذكر ما نعنيه بنصف قطر الكرة بالضبط. 00:02:37.970 --> 00:02:44.930 تذكر، الكرة شكل في ثلاثة أبعاد يمثل جميع النقاط التي تقع على مسافات متساوية من نقطة تسمى المركز. 00:02:45.330 --> 00:02:47.780 هذه المسافة تسمى نصف قطر الكرة. 00:02:48.030 --> 00:03:00.360 وبما أننا نعلم أن الكرة المعطاة تمر من خلال النقطة سالب 14، 13، سالب 14 ونعلم إحداثيات مركز الكرة، فإن المسافة بين هاتين النقطتين لا بد أن تساوي نصف قطر الكرة. 00:03:00.720 --> 00:03:05.610 ومن ثم، يمكننا إيجاد نصف قطر هذه الكرة بإيجاد المسافة بين هاتين النقطتين. 00:03:05.830 --> 00:03:11.050 وللقيام بذلك، نتذكر صيغة إيجاد المسافة بين نقطتين في فضاء ثلاثي الأبعاد. 00:03:11.250 --> 00:03:27.790 المسافة بين النقطة ‪𝑥‬‏ واحد، ‪𝑦‬‏ واحد، ‪𝑧‬‏ واحد والنقطة ‪𝑥‬‏ اثنين، ‪𝑦‬‏ اثنين، ‪𝑧‬‏ اثنين تساوي الجذر التربيعي لـ ‪𝑥‬‏ واحد ناقص ‪𝑥‬‏ اثنين الكل تربيع زائد ‪𝑦‬‏ واحد ناقص ‪𝑦‬‏ اثنين الكل تربيع زائد ‪𝑧‬‏ واحد ناقص ‪𝑧‬‏ اثنين الكل تربيع. 00:03:28.120 --> 00:03:32.970 ولا يهم الترتيب عند التعويض عن النقطتين؛ فالمسافة بينهما متساوية. 00:03:33.260 --> 00:03:51.090 بالتعويض بالنقطة التي على الكرة وبمركز الكرة في صيغة المسافة بين نقطتين في فضاء ثلاثي الأبعاد، نحصل على أن نصف قطر الكرة يساوي الجذر التربيعي لسالب 14 ناقص ثمانية الكل تربيع زائد 13 ناقص سالب 15 الكل تربيع زائد سالب 14 ناقص 10 الكل تربيع. 00:03:51.460 --> 00:03:58.750 وبتبسيط المقدار الموجود داخل علامة الجذر التربيعي، نجد أن ‪𝑟‬‏ يساوي الجذر التربيعي لـ 1,844. 00:03:59.000 --> 00:04:06.390 والآن يمكننا تبسيط هذا المقدار أكثر من ذلك؛ ومع ذلك، تذكر أننا نحاول إيجاد قيمة ‪𝑟‬‏ تربيع للصورة القياسية لمعادلة الكرة. 00:04:06.730 --> 00:04:10.070 هذا يعني أن علينا تربيع طرفي هذه المعادلة على أي حال. 00:04:10.460 --> 00:04:15.140 وبذلك نحصل على ‪𝑟‬‏ تربيع يساوي 1,844. 00:04:15.360 --> 00:04:20.930 وأخيرًا، يمكننا التعويض بقيمة ‪𝑟‬‏ تربيع هذه في الصورة القياسية لمعادلة الكرة. 00:04:21.300 --> 00:04:40.770 هذا يعطينا أن الصورة القياسية لمعادلة الكرة التي مركزها النقطة ثمانية، سالب 15، 10 وتمر من خلال النقطة سالب 14، 13، سالب 14 هي ‪𝑥‬‏ ناقص ثمانية الكل تربيع زائد ‪𝑦‬‏ زائد 15 الكل تربيع زائد ‪𝑧‬‏ ناقص 10 الكل تربيع يساوي 1,844، وهي ما يمكننا أن نلاحظ أنها موضحة في الإجابة (أ).