WEBVTT 00:00:00.400 --> 00:00:08.360 En este video, vamos a ver algunas gráficas de funciones de segundo grado y a hallar relaciones entre sus características y los diferentes coeficientes en sus ecuaciones. 00:00:09.240 --> 00:00:13.080 Vamos a explorar por qué existen esas relaciones, considerando la fórmula cuadrática. 00:00:14.160 --> 00:00:20.680 Recuerda que toda ecuación de segundo grado tiene un término en 𝑥 al cuadrado, un término en 𝑥 y un término constante. 00:00:21.760 --> 00:00:28.880 Así que eso es un número por 𝑥 al cuadrado más o menos un número por 𝑥 más o menos algún número constante al final. 00:00:29.680 --> 00:00:33.880 Por ejemplo, 𝑦 es igual a tres 𝑥 al cuadrado más dos 𝑥 menos cinco. 00:00:34.560 --> 00:00:39.360 En ese caso, el valor de 𝑎 es positivo, es más tres. 00:00:39.360 --> 00:00:41.840 El valor de 𝑏 es positivo, es más dos. 00:00:42.400 --> 00:00:45.040 Pero el valor de 𝑐 es negativo, es menos cinco. 00:00:45.880 --> 00:00:48.880 Otro ejemplo es 𝑦 igual a menos dos 𝑥 al cuadrado. 00:00:49.320 --> 00:00:53.400 En este caso, el valor de 𝑎, el coeficiente de 𝑥 al cuadrado, es menos dos. 00:00:54.000 --> 00:00:59.680 Pero el coeficiente del término en 𝑥 y la constante son ambos cero, o sea, 𝑏 es igual a cero y 𝑐 es igual a cero. 00:01:00.920 --> 00:01:05.640 Y, un ejemplo más, 𝑦 igual a un cuarto de 𝑥 al cuadrado más dos quintos. 00:01:06.280 --> 00:01:13.160 En este caso, el valor de 𝑎 es un cuarto, el valor de 𝑏 es cero y el valor de 𝑐 es dos quintos. 00:01:13.480 --> 00:01:19.360 Así que 𝑏 o 𝑐 pueden ser cero, pero para ser una ecuación de segundo grado, el valor de 𝑎 nunca puede ser cero. 00:01:19.720 --> 00:01:27.440 Si trazamos la gráfica de cualquier función de segundo grado, obtenemos una parábola simétrica como una de estas dos, bien en forma de U o bien en forma de U invertida. 00:01:28.200 --> 00:01:43.480 Probablemente recuerdes que el valor de 𝑎, es decir, el coeficiente de 𝑥 al cuadrado, te dice qué tan ancha o delgada es la curva, y en qué sentido está, recuerda: curvas positivas con carita feliz o curvas negativas y con cara tristes 00:01:44.480 --> 00:01:49.920 Y cambiando el coeficiente de 𝑥, o sea, el valor de 𝑏, la curva se mueve hacia la izquierda o hacia la derecha en la gráfica. 00:01:50.480 --> 00:01:55.120 Y el valor 𝑐, el término constante, nos dice el valor de la función cuando la variable independiente 𝑥 es cero. 00:01:55.680 --> 00:02:00.280 En otras palabras, dónde corta el eje 𝑦, o sea, la ordenada 𝑦 en el origen. 00:02:01.080 --> 00:02:06.440 Por lo tanto, simplemente mirar los coeficientes y el término constante puede decirnos mucho sobre cómo es la gráfica de la función. 00:02:07.080 --> 00:02:10.960 Y al revés, si nos fijamos en la gráfica, podemos decir cuáles serán los coeficientes. 00:02:11.720 --> 00:02:13.480 Pero también hay otro aspecto que debemos conocer. 00:02:13.760 --> 00:02:16.520 ¿Dónde interseca la curva el eje 𝑥? 00:02:16.520 --> 00:02:19.440 En otras palabras, ¿qué valores de la variable independiente 𝑥 generan resultados de 𝑦 iguales a cero? 00:02:20.640 --> 00:02:27.240 Probablemente hayas pasado bastante tiempo resolviendo tales cosas, tal vez leyendo valores de gráficos, usando ensayo y mejoras sistemáticas. 00:02:27.800 --> 00:02:33.200 Tal vez factorizando, o usando la fórmula cuadrática, o incluso completando el cuadrado. 00:02:34.000 --> 00:02:39.360 Pero es posible que hayas notado que a veces obtienes dos respuestas, a veces obtiene una y, a veces, no obtienes ninguna. 00:02:40.160 --> 00:02:46.840 Tal vez la expresión cuadrática no se puede factorizar, o tal vez la fórmula simplemente falla y refleja un error matemático en tu calculadora, cuando la escribes. 00:02:47.680 --> 00:02:53.360 Algunas ecuaciones de segundo grado tienen dos raíces y eso es equivalente a que intersecan el eje 𝑥 en dos lugares. 00:02:53.840 --> 00:02:57.080 Así que hay dos valores de 𝑥 que generan coordenadas 𝑦 de cero. 00:02:57.800 --> 00:02:59.680 Algunas ecuaciones tienen solo una raíz. 00:03:00.280 --> 00:03:04.560 Más propiamente se dice que son raíces repetidas: son dos raíces, pero simplemente están en el mismo lugar. 00:03:05.160 --> 00:03:08.320 Y otras no tienen raíces, no tienen raíces reales. 00:03:09.040 --> 00:03:13.640 Hay una forma de usar cosas tales como los números imaginarios y los números complejos para generar más raíces. 00:03:14.320 --> 00:03:15.840 Pero no nos vamos a ocupar de eso todavía. 00:03:17.240 --> 00:03:27.240 Si la curva cambia de tendencia y se tuerce hacia arriba, o tal vez cambia de tendencia y se tuerce hacia abajo dependiendo de si viene desde arriba o desde abajo, sin cruzar el eje 𝑥 en ninguna parte, entonces es que no hay raíces. 00:03:27.920 --> 00:03:31.920 Y eso es porque no hay puntos en esa curva que tengan una coordenada 𝑦 de cero. 00:03:32.640 --> 00:03:35.800 Ninguna de los valores de entrada 𝑥 genera una coordenada 𝑦 de cero. 00:03:36.600 --> 00:03:38.360 Echemos un vistazo a la fórmula cuadrática. 00:03:38.960 --> 00:03:49.720 Las soluciones de 𝑎𝑥 al cuadrado más 𝑏𝑥 más 𝑐 igual a cero, donde 𝑎 no es igual a cero, están dadas por 𝑥 igual a menos 𝑏 más o menos la raíz cuadrada de 𝑏 al cuadrado menos cuatro 𝑎𝑐 todo sobre dos 𝑎. 00:03:50.520 --> 00:03:55.800 Así que la idea es tomar la ecuación de segundo grado y sustituir los valores 𝑎, 𝑏 y 𝑐. 00:03:56.000 --> 00:04:00.240 Y eso nos dirá las coordenadas 𝑥 para las cuales la coordenada 𝑦 es cero. 00:04:01.200 --> 00:04:09.160 Pero si hay dos soluciones, una solución o ninguna solución, todo depende de esta expresión de aquí; y esta expresión se llama discriminante. 00:04:09.960 --> 00:04:18.920 Por lo tanto, cuando usamos la fórmula cuadrática, necesitamos calcular la raíz cuadrada del discriminante para, seguidamente, poder hallar las coordenadas 𝑥 de los puntos donde la curva interseca el eje 𝑥. 00:04:20.640 --> 00:04:21.480 Ese es el problema. 00:04:22.200 --> 00:04:27.160 Si el discriminante es positivo, tenemos la raíz cuadrada de un número positivo. 00:04:27.480 --> 00:04:33.360 Y eso nos da dos valores diferentes, una versión positiva y una versión negativa, por lo que habrá dos valores de 𝑥. 00:04:34.040 --> 00:04:38.240 Si el discriminante es igual a cero, tenemos la raíz cuadrada de cero, que es cero. 00:04:38.640 --> 00:04:41.560 Ese es solo un valor, así que vamos a encontrar solo una raíz. 00:04:42.280 --> 00:04:51.440 Y si el discriminante es negativo, vamos a intentar hallar la raíz cuadrada de un número negativo, lo cual no es posible… a menos que echemos mano de un conjunto de números llamado números complejos. 00:04:52.520 --> 00:04:54.080 Veamos entonces un par de ejemplos. 00:04:54.800 --> 00:05:03.160 Si 𝑦 es igual a 𝑥 al cuadrado más tres 𝑥 más dos, eso significa que 𝑎 es uno, 𝑏 es tres y 𝑐 es dos. 00:05:04.120 --> 00:05:14.200 Si ponemos la coordenada 𝑦 igual a cero para así intentar averiguar dónde corta el eje 𝑥, si reemplazamos todos esos números en la fórmula cuadrática, el discriminante aquí es tres al cuadrado. 00:05:14.880 --> 00:05:18.640 Eso es, nueve, menos cuatro por uno por dos; y eso es ocho. 00:05:19.320 --> 00:05:21.360 Así que es nueve menos ocho, o sea, más uno. 00:05:21.920 --> 00:05:24.360 Y más o menos la raíz cuadrada de uno puede ser más uno o puede ser menos uno. 00:05:25.200 --> 00:05:30.280 Más uno por uno es uno, y menos uno por menos uno también es uno. 00:05:30.800 --> 00:05:32.400 Eso genera dos posibles soluciones. 00:05:33.160 --> 00:05:41.200 Para esta ecuación de segundo grado en particular, una coordenada 𝑥 de menos uno genera una coordenada 𝑦 de cero, y una coordenada 𝑥 de menos dos genera también una coordenada 𝑦 de cero. 00:05:42.000 --> 00:05:48.520 En otras palabras, interseca el eje 𝑥 en dos lugares: cuando 𝑥 es igual a menos uno y cuando 𝑥 es igual a menos dos. 00:05:49.240 --> 00:05:59.040 Cuando el discriminante 𝑏 al cuadrado menos cuatro 𝑎𝑐 es mayor que cero, tenemos dos raíces reales en nuestras ecuaciones; dos valores de 𝑥 que generan una coordenada 𝑦 de cero. 00:05:59.720 --> 00:06:00.240 Perfecto. 00:06:00.240 --> 00:06:01.640 Veamos otro ejemplo. 00:06:02.080 --> 00:06:04.880 𝑦 es igual a 𝑥 al cuadrado más dos 𝑥 más uno. 00:06:05.880 --> 00:06:11.760 Así que en esta ecuación de segundo grado 𝑎 es igual a uno, 𝑏 es igual a dos y 𝑐 es igual a uno. 00:06:12.560 --> 00:06:26.600 Si ponemos 𝑦 igual a cero porque queremos tratar de hallar las coordenadas 𝑥 donde la gráfica corta el eje 𝑥, cuando reemplazamos esos números en nuestra ecuación de segundo grado, esta parte dentro de la raíz cuadrada aquí, el discriminante, resulta ser cuatro menos cuatro, que es cero. 00:06:27.320 --> 00:06:32.880 Cuando resolvemos esa ecuación, los valores de 𝑥 serán menos dos más o menos la raíz cuadrada de cero. 00:06:33.640 --> 00:06:37.360 Obviamente, la raíz cuadrada de cero es cero. 00:06:37.600 --> 00:06:41.360 Así que estamos sumando cero a menos dos y restamos cero de menos dos. 00:06:42.080 --> 00:06:46.560 Claramente, nuestras dos soluciones serán exactamente las mismas, en este caso, menos uno. 00:06:47.480 --> 00:06:52.240 Básicamente, un valor de la variable independiente 𝑥 de menos uno genera un valor de la variable dependiente 𝑦 de cero. 00:06:53.600 --> 00:06:59.840 Pero no hay otros valores de 𝑥 que hagan eso, por lo que esta es una curva que solo toca el eje 𝑥 en un lugar. 00:07:00.760 --> 00:07:02.160 Echemos un vistazo a un ejemplo más. 00:07:02.720 --> 00:07:06.080 𝑦 es igual a dos 𝑥 al cuadrado más 𝑥 más tres. 00:07:07.000 --> 00:07:13.200 Así que ahora 𝑎 es dos, 𝑏 es uno y 𝑐 es tres. 00:07:13.440 --> 00:07:21.640 Y reemplazar esos números en nuestra fórmula cuadrática nos da un discriminante de uno al cuadrado menos cuatro por dos por tres; eso es menos veintitrés. 00:07:22.360 --> 00:07:26.280 Y si queremos resolver esto, tendremos que hallar la raíz cuadrada de menos veintitrés. 00:07:26.920 --> 00:07:36.440 Pero no se puede obtener la raíz cuadrada de un número negativo porque si tomamos un número multiplicado por sí mismo, ya sea positivo o negativo, siempre obtendremos una respuesta positiva. 00:07:36.840 --> 00:07:40.880 Así que este es un ejemplo de una ecuación de segundo grado que no tiene raíces. 00:07:41.360 --> 00:07:45.520 En otras palabras, no hay coordenadas 𝑥 que generen una coordenada 𝑦 de cero. 00:07:46.040 --> 00:07:50.920 No podemos hallar ningún valor real de 𝑥 que nos permita calcular esta raíz cuadrada de un número negativo aquí. 00:07:51.760 --> 00:08:01.360 Así que podemos usar esta información, es decir, simplemente analizar el discriminante, para saber si hay dos raíces, una raíz o ninguna raíz para nuestra ecuación de segundo grado. 00:08:02.200 --> 00:08:06.760 Si 𝑏 al cuadrado menos cuatro 𝑎𝑐 es mayor que cero, habrá dos raíces. 00:08:07.360 --> 00:08:15.480 Así que puedes calcular el valor de 𝑏 al cuadrado y el valor de cuatro 𝑎𝑐; y si 𝑏 al cuadrado es mayor que cuatro 𝑎𝑐, entonces sabes que hay dos raíces. 00:08:16.400 --> 00:08:20.720 Si 𝑏 al cuadrado menos cuatro 𝑎𝑐 es igual a cero, esa raíz cuadrada será cero. 00:08:21.120 --> 00:08:22.760 Así que solo tendremos una raíz. 00:08:23.320 --> 00:08:30.040 Y tal vez una forma más rápida de detectar, es decir, si el valor de 𝑏 al cuadrado es igual a cuatro 𝑎𝑐, significa lo mismo; eso será solo una raíz. 00:08:30.600 --> 00:08:35.640 Y si 𝑏 al cuadrado menos cuatro 𝑎𝑐 es menor que cero, vas a intentar calcular la raíz cuadrada de un número negativo. 00:08:36.000 --> 00:08:37.840 No va a funcionar; no habrá raíces. 00:08:38.400 --> 00:08:42.160 Y eso sucede cuando el cuadrado de 𝑏 es menor que cuatro por 𝑎 por 𝑐. 00:08:42.640 --> 00:08:43.200 Ahora bien. 00:08:43.200 --> 00:08:46.000 Antes de terminar, solo quiero que respondas estas tres preguntas. 00:08:46.840 --> 00:08:49.040 ¿Cuántas raíces tienen estas ecuaciones de segundo grado? 00:08:49.840 --> 00:08:54.080 Vamos a igualar la coordenada 𝑦 a cero y ver cuántas soluciones obtenemos. 00:08:54.840 --> 00:08:58.160 Y hacemos esto analizando el discriminante en cada caso. 00:08:59.000 --> 00:09:03.920 Vamos a hacer una pausa ahora, solo esperaré un par de segundos y luego explicaré las respuestas. 00:09:06.240 --> 00:09:06.480 De acuerdo. 00:09:06.880 --> 00:09:11.120 En cada caso, lo primero que debemos hacer es escribir el valor de 𝑎, 𝑏 y 𝑐. 00:09:12.000 --> 00:09:14.920 Y luego podemos usar esos valores para evaluar el discriminante. 00:09:15.640 --> 00:09:18.960 Y el discriminante, recuerda, es 𝑏 al cuadrado menos cuatro 𝑎𝑐. 00:09:19.680 --> 00:09:24.400 En esta primera cuestión, eso es cinco al cuadrado menos cuatro por dos por cinco. 00:09:24.760 --> 00:09:28.240 Así que eso es veinticinco menos cuarenta, que es menos quince. 00:09:28.840 --> 00:09:35.640 En este caso, el discriminante 𝑏 al cuadrado menos cuatro 𝑎𝑐 es menor que cero y eso significa que no hay raíces reales. 00:09:36.320 --> 00:09:42.640 Pasando al número dos, podemos ver que 𝑎 es dos, 𝑏 es menos cuatro y 𝑐 es dos. 00:09:43.240 --> 00:09:45.760 Así que el discriminante es 𝑏 al cuadrado menos cuatro 𝑎𝑐. 00:09:46.480 --> 00:09:50.520 Eso es menos cuatro al cuadrado menos cuatro por dos por dos. 00:09:51.200 --> 00:09:56.480 Cuatro al cuadrado es dieciséis y cuatro por dos es ocho por dos es dieciséis. 00:09:57.080 --> 00:10:00.800 Dieciséis menos dieciséis, es igual a cero. 00:10:01.640 --> 00:10:07.880 Así que 𝑏 al cuadrado menos cuatro 𝑎𝑐, el discriminante, es igual a cero y eso significa que tenemos una raíz repetida. 00:10:09.160 --> 00:10:16.800 Y para la última cuestión, tenemos 𝑎 igual a dos, 𝑏 igual a uno porque eso significa uno por 𝑥 y 𝑐 es igual a menos tres. 00:10:17.320 --> 00:10:24.000 Y el discriminante 𝑏 al cuadrado menos cuatro 𝑎𝑐 es uno al cuadrado menos cuatro por dos por menos tres. 00:10:24.880 --> 00:10:28.520 Cuatro por dos es ocho por tres es veinticuatro. 00:10:29.080 --> 00:10:33.560 Así que estamos restando menos veinticuatro, lo que significa que estamos sumando veinticuatro. 00:10:34.360 --> 00:10:41.800 Ten cuidado con estas situaciones; estamos quitando algo, pero debido a que uno de esos valores, el valor 𝑐 en este caso, es negativo, tenemos menos de menos, que es más. 00:10:42.600 --> 00:10:46.120 Por lo tanto, el discriminante es veinticinco, que es positivo. 00:10:46.840 --> 00:10:53.560 Eso significa que, en la fórmula cuadrática, hallaremos más y menos la raíz cuadrada de veinticinco, que es más cinco y menos cinco. 00:10:54.000 --> 00:10:56.440 Así que estamos sumando o restando para hallar la respuesta. 00:10:57.080 --> 00:11:02.400 El discriminante es mayor que cero, en este caso, el número tres, así que tenemos dos raíces.