WEBVTT 00:00:01.750 --> 00:00:07.950 En este video, vamos a aprender cómo multiplicar monomios con una sola variable o con múltiples variables. 00:00:08.130 --> 00:00:13.080 Vamos a comenzar recordando lo que queremos decir con la palabra «monomio». 00:00:13.430 --> 00:00:16.150 El prefijo «mono» proviene de la Grecia clásica. 00:00:16.530 --> 00:00:20.410 «Monos» significaba solo, solamente, solitario o soltero. 00:00:20.990 --> 00:00:31.830 Por eso llamamos «monomio» al polinomio con un solo término, en otras palabras, un monomio es un solo término que está compuesto por números y variables. 00:00:32.070 --> 00:00:39.770 Un monomio puede tener múltiples variables —es decir, puede tener varias letras—, pero los exponentes de estas letras solo pueden ser números enteros positivos. 00:00:40.030 --> 00:00:44.850 Por ejemplo, tres 𝑥 a la cuarta 𝑦 es un monomio. 00:00:45.060 --> 00:00:50.920 Pero dos 𝑥 elevado a menos cinco no lo es, ya que el exponente de la variable es negativo. 00:00:51.310 --> 00:00:55.430 Del mismo modo, no se considera un monomio si hay una variable dentro de una raíz. 00:00:55.670 --> 00:01:00.290 Y esto es porque podemos representar un radical como una potencia de exponente fraccionario. 00:01:00.440 --> 00:01:02.600 Y, por supuesto, una fracción no es un número entero. 00:01:03.290 --> 00:01:06.730 Vamos a ver cómo multiplicar dos o más monomios. 00:01:07.100 --> 00:01:12.280 Y vamos a comenzar resolviendo un ejercicio en el que no hay variables, o sea, no hay letras. 00:01:14.220 --> 00:01:19.390 Halla el valor de tres por tres al cubo por tres al cuadrado. 00:01:19.770 --> 00:01:22.700 Nos piden que calculemos este producto. 00:01:22.990 --> 00:01:28.730 Lo que podemos hacer es comenzar calculando tres al cubo y tres al cuadrado. 00:01:29.170 --> 00:01:33.970 Tres al cuadrado, es lo mismo que tres por tres, que es igual a nueve. 00:01:34.370 --> 00:01:40.450 Y luego, tres al cubo es tres por tres por tres, que es igual a 27. 00:01:40.870 --> 00:01:48.520 Por lo tanto, para evaluar tres por tres al cubo por tres al cuadrado, tenemos que hacer tres por 27 por nueve. 00:01:48.930 --> 00:01:51.320 Como sabemos, la multiplicación es conmutativa. 00:01:51.610 --> 00:01:53.680 Se puede realizar en cualquier orden. 00:01:53.710 --> 00:01:56.440 Así que podemos comenzar con tres por nueve. 00:01:56.850 --> 00:01:59.360 Tres multiplicado por nueve es 27. 00:01:59.650 --> 00:02:05.380 Entonces, tres por 27 por nueve es lo mismo que 27 por 27. 00:02:05.800 --> 00:02:08.410 Y, por supuesto, podemos usar cualquier método para calcular esto. 00:02:08.740 --> 00:02:11.350 Recordemos cómo usar el método en vertical. 00:02:11.620 --> 00:02:13.400 Siete por siete es 49. 00:02:13.630 --> 00:02:15.880 Ponemos un nueve aquí, y nos llevamos el cuatro. 00:02:16.290 --> 00:02:20.970 Dos por siete es 14, y luego, cuando sumamos este cuatro, obtenemos 18. 00:02:21.250 --> 00:02:24.770 Así que 27 por siete es 189. 00:02:25.130 --> 00:02:29.820 Después multiplicamos los dígitos dos y siete por este dos. 00:02:30.160 --> 00:02:34.610 El dos está en la columna de las decenas, por lo que equivale a multiplicar por 20. 00:02:34.870 --> 00:02:37.630 Y, podemos agregar un cero aquí para tener esto en cuenta. 00:02:37.960 --> 00:02:39.950 Siete por dos es 14. 00:02:39.950 --> 00:02:42.220 Ponemos un cuatro aquí y llevamos el uno. 00:02:42.480 --> 00:02:46.690 Dos por dos son cuatro, y cuando sumamos el uno que nos llevamos, obtenemos cinco. 00:02:47.020 --> 00:02:50.670 27 por 20 es 540. 00:02:50.930 --> 00:02:53.510 Sumamos estos dos números. 00:02:53.700 --> 00:02:57.420 Nueve más cero es nueve, ocho más cuatro son 12. 00:02:57.420 --> 00:02:58.470 Y llevamos el uno. 00:02:58.740 --> 00:03:02.690 Uno más cinco más el uno que llevábamos es siete. 00:03:02.900 --> 00:03:06.940 27 por 27 es 729. 00:03:07.190 --> 00:03:10.520 Y ese es el valor de nuestro producto. 00:03:11.130 --> 00:03:13.320 Pero ¿hay otra forma de resolver esto? 00:03:13.710 --> 00:03:17.630 Sí, tenemos una regla para trabajar con potencias, es decir, con números que tienen exponentes. 00:03:17.900 --> 00:03:23.730 Siempre que la base sea la misma, para multiplicar este tipo de números, simplemente sumamos sus exponentes. 00:03:24.010 --> 00:03:26.720 Supongamos que la base común es 𝑥. 00:03:26.760 --> 00:03:31.950 Entonces la regla dice que 𝑥 elevado a 𝑎 por 𝑥 elevado a 𝑏 es igual a 𝑥 elevado a 𝑎 más 𝑏. 00:03:32.410 --> 00:03:36.750 Y podemos extender esta regla para multiplicar tres términos. 00:03:36.900 --> 00:03:50.620 Si pensamos en tres como tres elevado a la unidad, podemos decir que tres elevado a la unidad multiplicado por tres al cubo por tres al cuadrado es lo mismo que tres elevado a uno más tres más dos, que es tres a la sexta. 00:03:51.090 --> 00:03:53.970 De esta forma hemos simplificado nuestro producto. 00:03:53.970 --> 00:03:57.700 Pero aún necesitamos evaluarlo para obtener 729. 00:03:58.250 --> 00:04:05.120 De cualquier manera, hemos hallado que tres por tres al cubo por tres al cuadrado es igual a 729. 00:04:06.230 --> 00:04:14.890 Hemos visto cómo podemos simplificar y evaluar productos de monomios compuestos de términos puramente numéricos. 00:04:15.110 --> 00:04:18.750 ¿Qué hacemos cuando trabajamos con productos de números y variables, es decir, cuando hay números y letras? 00:04:20.500 --> 00:04:25.540 00:04:25.850 --> 00:04:30.750 Recuerda que este punto se usa indistintamente con el símbolo de multiplicación. 00:04:30.810 --> 00:04:36.550 Y, para simplificar la expresión dada, vamos a hacer uso de algunas de las propiedades de la multiplicación. 00:04:37.090 --> 00:04:40.240 En primer lugar, la propiedad asociativa de la multiplicación. 00:04:40.640 --> 00:04:47.050 Esta dice que cuando se multiplican tres o más números, el producto es el mismo, sin importar cómo se agrupen esos números. 00:04:47.320 --> 00:04:49.510 Realmente no necesitamos los paréntesis aquí. 00:04:49.750 --> 00:04:54.190 Es lo mismo que decir seis por 𝑥 por ocho. 00:04:54.610 --> 00:05:01.490 La propiedad conmutativa dice que el producto será el mismo incluso si cambiamos la posición de los números. 00:05:02.080 --> 00:05:05.450 Por ejemplo, tres por cuatro es lo mismo que cuatro por tres. 00:05:05.730 --> 00:05:13.820 De modo que vamos a intercambiar 𝑥 y ocho y a reescribir nuestra expresión como seis por ocho por 𝑥. 00:05:14.110 --> 00:05:20.080 Y como la agrupación realmente no importa, podemos calcular seis por ocho. 00:05:20.330 --> 00:05:24.880 Seis por ocho son 48, por lo que esto se convierte en 48 por 𝑥. 00:05:25.040 --> 00:05:28.790 Y, podemos escribirlo como 48𝑥. 00:05:29.130 --> 00:05:35.030 Por lo tanto, cuando simplificamos la expresión seis por ocho por 𝑥, obtenemos 48𝑥. 00:05:35.930 --> 00:05:45.530 Así que hemos visto cómo multiplicar monomios bastante simples usando algunas de las propiedades de la multiplicación, junto con las leyes para trabajar con potencias. 00:05:45.790 --> 00:05:49.830 A continuación, vamos a combinar todo esto y vamos a ver algunos problemas más complicados. 00:05:51.960 --> 00:05:56.970 Simplifica siete 𝑥 a la cuarta por ocho 𝑥 a la séptima. 00:05:57.650 --> 00:06:00.540 Hay dos cosas que sabemos sobre la multiplicación. 00:06:01.120 --> 00:06:04.540 Es asociativa y conmutativa. 00:06:04.810 --> 00:06:10.580 La propiedad asociativa nos dice que el producto es el mismo sin importar cómo se agrupen los números. 00:06:10.860 --> 00:06:16.350 Y la propiedad conmutativa nos dice que el orden en el que realizamos el cálculo realmente no importa. 00:06:16.590 --> 00:06:21.000 Por tanto, vamos a empezar descomponiendo un poco los factores en nuestra multiplicación. 00:06:21.370 --> 00:06:28.460 Cuando lo hacemos, obtenemos siete por 𝑥 a la cuarta por ocho por 𝑥 a la séptima. 00:06:28.800 --> 00:06:33.000 Ahora vamos a intercambiar 𝑥 a la cuarta y ocho. 00:06:33.200 --> 00:06:40.720 Y vemos que nuestra expresión se convierte en siete por ocho por 𝑥 a la cuarta por 𝑥 a la séptima. 00:06:40.880 --> 00:06:43.840 Y, de hecho, podemos hacer la parte numérica. 00:06:44.170 --> 00:06:53.330 Sabemos que siete por ocho es 56, lo que significa que esto se convierte en 56 por 𝑥 a la cuarta por 𝑥 a la séptima. 00:06:53.630 --> 00:06:56.050 Pero ¿qué hacemos con estas partes algebraicas? 00:06:56.260 --> 00:06:59.090 Pues bien, tenemos una regla para multiplicar potencias. 00:06:59.270 --> 00:07:02.250 Siempre que la base sea la misma, solo tenemos que sumar los exponentes. 00:07:02.540 --> 00:07:08.140 Ya sabes: 𝑥 elevado a 𝑎 por 𝑥 elevado a 𝑏 es 𝑥 elevado a 𝑎 más 𝑏. 00:07:08.430 --> 00:07:15.650 Esto significa que 𝑥 a la cuarta por 𝑥 a la séptima es 𝑥 elevado a cuatro más siete. 00:07:15.760 --> 00:07:20.270 Y como cuatro más siete es 11, esto se convierte en 𝑥 a la undécima potencia. 00:07:20.720 --> 00:07:24.420 Pero, realmente, no queremos incluir el símbolo de multiplicación. 00:07:24.760 --> 00:07:29.240 Así que, simplificamos esto aún más para obtener 56𝑥 a la undécima potencia. 00:07:29.720 --> 00:07:38.390 Cuando simplificamos siete 𝑥 a la cuarta por ocho 𝑥 a la séptima, obtenemos 56𝑥 a la undécima potencia. 00:07:39.570 --> 00:07:47.340 En realidad, hacer todo esto de descomponer en factores y luego mover los factores de un sitio para otro es un proceso largo y tedioso, así que es conveniente generalizar. 00:07:48.050 --> 00:08:02.990 Así que decimos que, para multiplicar dos o más monomios, primero podemos multiplicar los coeficientes —esos son los números que multiplican a las partes algebraicas— y después multiplicar por separado las variables, es decir, las letras —por supuesto, usando las leyes de las potencias cuando sea necesario—. 00:08:03.510 --> 00:08:06.560 Continuemos, pues, aplicando esto a una cuestión con contexto. 00:08:08.200 --> 00:08:12.320 Halla una expresión para el volumen del prisma rectangular que se muestra. 00:08:12.880 --> 00:08:17.780 Aquí tenemos un ortoedro, o prisma rectangular, y nos han dado sus dimensiones. 00:08:18.190 --> 00:08:22.320 Llamemos a esta dimensión de aquí longitud, que representamos con 𝑙. 00:08:22.570 --> 00:08:27.960 Esta dimensión de aquí, 𝑤, será la anchura, y esta otra dimensión es la altura ℎ. 00:08:28.240 --> 00:08:34.300 Sabemos que el volumen de un prisma rectangular es simplemente el producto de estas tres dimensiones. 00:08:34.330 --> 00:08:45.800 Es largo por ancho por alto, lo que significa que el volumen de nuestro prisma rectangular en unidades cúbicas es tres 𝑥 por 10𝑥 por 15𝑥. 00:08:46.010 --> 00:08:49.300 Y, por lo tanto, estamos hallando el producto de tres monomios. 00:08:49.520 --> 00:08:54.950 Y, para hacer esto, primero multiplicamos los coeficientes; esas son las partes numéricas. 00:08:55.230 --> 00:08:58.340 Vamos a comenzar, pues, calculando tres por 10 por 15. 00:08:58.640 --> 00:09:00.900 Y luego, multiplicamos las variables por separado. 00:09:01.140 --> 00:09:04.360 Así que aquí vamos a hallar 𝑥 por 𝑥 por 𝑥. 00:09:04.550 --> 00:09:09.120 También sabemos que la multiplicación es conmutativa, por lo que se puede hacer en cualquier orden. 00:09:09.370 --> 00:09:14.110 Vamos a comenzar multiplicando tres por 15 para obtener 45. 00:09:14.360 --> 00:09:19.670 Y 45 multiplicado por este 10 de aquí es 450. 00:09:19.860 --> 00:09:24.070 Al multiplicar los coeficientes de nuestros monomios, hemos obtenido 450. 00:09:24.450 --> 00:09:26.640 Y ahora, multiplicamos las partes algebraicas. 00:09:26.960 --> 00:09:30.400 Y, por supuesto, 𝑥 por 𝑥 por 𝑥 es 𝑥 al cubo. 00:09:30.700 --> 00:09:38.080 Por lo tanto, podemos decir que, en unidades cúbicas, el volumen del prisma rectangular mostrado es 450𝑥 al cubo. 00:09:39.800 --> 00:09:44.110 Veamos ahora lo que sucede cuando nuestros monomios contienen más de una variable. 00:09:45.310 --> 00:09:48.420 Simplifica tres 𝑥 por cuatro 𝑦. 00:09:48.810 --> 00:09:51.750 Aquí, queremos hallar el producto de dos monomios. 00:09:52.080 --> 00:09:56.210 El primero es tres 𝑥 y el segundo es cuatro 𝑦. 00:09:56.660 --> 00:10:02.100 Recordemos que cuando multiplicamos monomios, comenzamos multiplicando los coeficientes. 00:10:02.310 --> 00:10:04.930 Esos son los números que multiplican a las partes algebraicas. 00:10:05.330 --> 00:10:09.630 Y después, podemos multiplicar las variables —usando nuestras leyes para potencias, si es necesario—. 00:10:09.900 --> 00:10:13.760 Los coeficientes de nuestros dos monomios son tres y cuatro. 00:10:14.100 --> 00:10:17.700 Así que primero calculamos tres por cuatro, que es igual a 12. 00:10:17.890 --> 00:10:21.670 Las variables son 𝑥 y 𝑦. 00:10:21.670 --> 00:10:25.560 Hallamos 𝑥 por 𝑦, que podemos escribir simplemente como 𝑥𝑦. 00:10:26.200 --> 00:10:30.900 Tres 𝑥 por cuatro 𝑦 es simplemente el producto de estos términos. 00:10:31.130 --> 00:10:35.830 Es 12 por 𝑥𝑦, que podemos escribir como 12𝑥𝑦. 00:10:36.320 --> 00:10:40.970 Hemos simplificado tres 𝑥 por cuatro 𝑦, y hemos obtenido 12𝑥𝑦. 00:10:42.610 --> 00:10:47.530 Combinemos, pues, todo lo que hemos hecho para hacer un ejemplo definitivamente más complicado. 00:10:49.050 --> 00:10:55.350 Simplifica seis 𝑥 al cuadrado 𝑦 al cuadrado por menos nueve 𝑥 al cuadrado 𝑦 a la quinta. 00:10:55.940 --> 00:10:58.670 Aquí, queremos simplificar el producto de dos monomios. 00:10:58.850 --> 00:11:03.230 Así que vamos a recordar cómo multiplicamos dos o más monomios. 00:11:03.490 --> 00:11:07.080 Lo primero que hacemos es multiplicar los coeficientes, es decir, los números. 00:11:07.560 --> 00:11:09.940 Y luego, por separado, multiplicamos las variables, es decir, las letras. 00:11:10.370 --> 00:11:13.890 Tal vez tengamos que aplicar las leyes de las potencias para hacer esto. 00:11:14.210 --> 00:11:21.910 La ley específica que vamos a usar es la que dice que cuando las bases son las mismas, para multiplicar potencias simplemente tenemos que sumar los exponentes. 00:11:22.130 --> 00:11:27.510 Es decir, 𝑥 elevado a 𝑎 por 𝑥 elevado a 𝑏 es 𝑥 elevado a 𝑎 más 𝑏. 00:11:27.730 --> 00:11:31.060 Identifiquemos, pues, los coeficientes de nuestro producto. 00:11:31.370 --> 00:11:37.060 Tenemos seis aquí y menos nueve aquí, por lo que tenemos que multiplicar seis por menos nueve. 00:11:37.430 --> 00:11:39.940 Seis por nueve es 54. 00:11:40.210 --> 00:11:46.720 Y un número positivo multiplicado por un número negativo es un número negativo, por lo que seis por menos nueve es menos 54. 00:11:47.390 --> 00:11:49.440 A continuación, multiplicamos las variables. 00:11:49.800 --> 00:11:53.450 Vamos a multiplicar 𝑥 al cuadrado por 𝑥 al cuadrado. 00:11:53.620 --> 00:11:56.340 Y por supuesto, para hacerlo, simplemente sumamos los exponentes. 00:11:56.550 --> 00:12:02.000 Obtenemos 𝑥 elevado a dos más dos, que es, por supuesto, lo mismo que 𝑥 a la cuarta. 00:12:02.440 --> 00:12:06.370 Sin embargo, aquí tenemos otra variable, y esa es 𝑦. 00:12:06.460 --> 00:12:08.320 Hacemos lo mismo con esta variable. 00:12:08.720 --> 00:12:15.650 𝑦 al cuadrado por 𝑦 a la quinta es lo mismo que 𝑦 elevado a dos más cinco. 00:12:15.910 --> 00:12:22.350 Y, dado que dos más cinco son siete, 𝑦 al cuadrado por 𝑦 a la quinta es 𝑦 a la séptima. 00:12:22.800 --> 00:12:30.640 Cuando combinamos todo esto, obtenemos el resultado de multiplicar seis 𝑥 al cuadrado 𝑦 al cuadrado por menos nueve 𝑥 al cuadrado 𝑦 a la quinta. 00:12:31.040 --> 00:12:35.400 Y es menos 54𝑥 a la cuarta 𝑦 a la séptima. 00:12:37.220 --> 00:12:39.790 Ahora vamos a resumir los puntos clave de este video. 00:12:41.050 --> 00:12:45.780 En este video, hemos aprendido que un monomio es un polinomio con un solo término. 00:12:46.050 --> 00:12:57.860 Sabemos que ese único término puede estar formado por números, variables, o números y variables, y que puede contener más de una variable; y es necesario además que cualquier todos los exponentes de las variables sean números enteros positivos. 00:12:58.030 --> 00:13:02.300 No debe haber exponentes fraccionarios ni negativos. 00:13:02.800 --> 00:13:12.720 También hemos visto que, para multiplicar dos o más monomios, multiplicamos primero los coeficientes y luego, por separado, multiplicamos las variables —es decir, las letras— aplicando las leyes de las potencias si es necesario. 00:13:13.090 --> 00:13:20.790 Y la ley de las potencias que hemos usado dice que 𝑥 elevado a 𝑎 por 𝑥 elevado a la 𝑏 es igual a 𝑥 elevado a 𝑎 más 𝑏. 00:13:21.050 --> 00:13:25.660 En otras palabras, siempre que la base sea la misma, simplemente sumamos los exponentes.